9、子集和重配置问题的近似性分析

子集和重配置问题的近似性分析

在许多实际的组合优化问题中，子集和重配置问题是一个关键的研究领域。它涉及到在满足一定条件下，将一个子集转换为另一个子集的过程。本文将深入探讨子集和重配置问题的复杂性、不可近似性以及如何设计有效的近似算法。

问题定义与相关概念

• Packing 定义 ：Packing (A_i) 是集合 (A) 的一个子集，其总大小 (s(A_i)) 不超过背包的容量 (c)，即 (s(A_i) = \sum_{a\in A_i} s(a))。这里需要注意的是，一个 packing 不一定满足阈值 (k)。
• 相邻 Packing ：如果两个 packing (A_i) 和 (A_j) 的对称差的基数为 1，即 (|A_i \triangle A_j| = |(A_i \setminus A_j) \cup (A_j \setminus A_i)| = 1)，则称它们是相邻的。在 (A_i \triangle A_j) 中的物品 (a) 被认为在 (A_i) 和 (A_j) 之间移动。
• 重配置序列 ：两个 packing (A_0) 和 (A_t) 之间的重配置序列是一个 packing 序列 (A_0, A_1, \ldots, A_t)，其中 (A_{i - 1}) 和 (A_i) 对于 (i = 1, 2, \ldots, t) 是相邻的。对于重配置序列 (P)，(f(P)) 定义为 (P) 中所有 packing 的最小总大小，即 (f(P) = \min{s(A_i) : A_i \in P})。