8、最大权重匹配与子集和重配置问题的近似算法研究

最大权重匹配与子集和重配置问题的近似算法研究

1. 最大权重匹配问题

在图论中，最大权重匹配问题是一个重要的研究领域。对于图 (G)，设 (G_{x,j}) 为其特定的子超图，(m_{x,j}) 表示 (G_{x,j}) 中的边数，(n_{x,j}) 表示由 (G_{x,j}) 的边所诱导的子超图中的顶点数。根据对图 (G) 中边大小的假设，有 (n_{x,j} \leq \min{n, sm_{x,j}})。

通过对 (G_{x,j}) 中的权重进行重新缩放，可以在时间 (T(\min{n, sm_{x,j}}, m_{x,j}, (\epsilon^{-1})^{O(\epsilon^{-1})})) 内找到 (M_{x,j})，其中 (j = 1, \cdots, O(\log_{1 + \epsilon} \frac{n}{\epsilon} / l_k)) 且 (x = 0, \cdots, k - 1)。

下面是相关的操作步骤：
1. 对图 (G) 的边按权重进行排序：利用标准的基数排序，使用 (O(\epsilon^{-1} \log \frac{n}{\epsilon})) 个桶，在时间 (O(m + \epsilon^{-1} \log \frac{n}{\epsilon})) 内完成排序。
2. 构建子图 (G_{x,j})：将排序后的边列表存储在数组中，并在表示 (G) 的邻接表和排序后的边列表之间建立双向链接。通过从左到右扫描排序列表的连续片段来确定诱导 (G_{x,j}) 的边。
3. 构建子超图的邻接表示：给定 (G_{x,j}) 的边列表，利用双向链接在时间 (O(n + m) = O(T(n, m, (\epsilon