8、图匹配与子集和重配置问题的近似算法研究

图匹配与子集和重配置问题的近似算法研究

在图论和组合优化领域，最大权重匹配和子集和重配置问题是两个重要的研究方向。本文将深入探讨这两个问题的近似算法，介绍相关的理论和应用，并分析其复杂度和性能。

最大权重匹配问题

最大权重匹配问题旨在找到图中边的一个子集，使得这些边的权重之和最大。在双分图中，已有至少两种精确算法可解决该问题，其运行时间的上界与最大边权重 $W$ 呈线性关系。

• Duan 和 Pettie 算法 ：对于具有正整数边权重且不超过 $W$ 的连通图，可在 $O(\epsilon^{-2}m \log^3 W)$ 时间内确定性地找到最大权重匹配的 $(1 - \epsilon)$ 近似解。
• 近似方案 ：通过对边权重进行适当的变换和处理，可将该算法推广到非连通图，并与其他算法结合，得到一个在 $( \epsilon^{-1})^{O(1)}(m + n)$ 时间内运行的最大权重匹配近似方案。

相关操作步骤

1. 边权重排序 ：使用标准的基数排序，以 $O(\epsilon^{-1} \log \frac{n}{\epsilon})$ 个桶对图的边按权重进行排序，时间复杂度为 $O(m + \epsilon^{-1} \log \frac{n}{\epsilon})$。
2. 子图构建 ：将排序后的边列表存储在数组中，并在邻接表和排序列表之间建立双向链接。通过扫描排序列表的连续片段，确定诱导子超图 $G_{