单调栈求所有全1矩形的个数

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 3001;
const int maxm = 3001;
int a[maxn][maxm],h[maxn][maxm];
int st[maxn];
int cnt[maxn][maxn];
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for( int i = 1;i <= n;i++ ){
        for( int j = 1;j <= m;j++ ){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for( int i = 1;i <= m;i++ ){
        for( int j = 1;j <= n;j++ ){
            if( a[j][i]==0 ) h[j][i] = 0;
            else h[j][i] = h[j-1][i] + 1;
        }
    }
    LL ans = 0;
    for( int i = 1;i <= n;i++ ){
        int top = 0;
        for( int j = 1;j <= m;j++ ){
            while( top && h[i][j] < h[i][ st[top] ] )top--;
            st[++top] = j;
            if( top > 1 )cnt[i][j] += cnt[i][ st[top-1] ];
            cnt[i][j] += 1LL * (j - st[top-1])* h[i][j];
            ans += cnt[i][j];
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

 

### 使用单调栈解最大子矩阵问题 #### 算法概述 对于给定的一个由 `0` 和 `1` 组成的二维矩阵,目标是找到其中仅包含 `1` 的最大矩形区域并返回其面积。此问题可以通过将二维问题转化为多个一维问题来解决,具体方法如下: 通过逐行遍历矩阵,并利用前缀和的思想计算每列的高度(即连续 `1` 的数量),从而构建一个高度数组 `heights[]`。随后,针对每一行的高度数组应用 **单调栈** 来找出当前行所能形成的最大矩形面积。 最终的结果是从所有行中得到的最大矩形面积中的最大值[^3]。 --- #### 关键步骤解析 ##### 1. 高度数组的构建 定义一个长度等于矩阵宽度的数组 `heights[]`,初始化为零。每次迭代一行时更新该数组,使得 `heights[j]` 表示第 `j` 列从当前位置向上数连续 `1` 的个数。如果遇到 `0`,则重置对应列的高度为零。 ```python def build_heights(matrix, heights): rows, cols = len(matrix), len(matrix[0]) for j in range(cols): # 初始化第一行的高度 heights[j] = int(matrix[0][j]) for i in range(1, rows): # 更新后续行的高度 for j in range(cols): if matrix[i][j] == '1': heights[j] += 1 else: heights[j] = 0 ``` 此处的时间复杂度为 O(m * n),其中 m 是矩阵的行数,n 是列数[^4]。 --- ##### 2. 单调栈的应用 为了高效地解单行内的最大矩形面积,采用单调栈的方法。核心思路是对每个柱状体(代表某一列的高度)寻找左侧第一个小于它的索引 `left_idx` 和右侧第一个小于它的索引 `right_idx`,进而计算以其为高的矩形面积 `(right_idx - left_idx - 1) * height[idx]`。 以下是基于单调栈的具体实现逻辑: - 构建一个严格递增的栈; - 当发现新的高度低于栈顶对应的柱高时,弹出栈顶元素并计算以该柱高为基础的矩形面积; - 将新高度压入栈中继续处理。 ```python def max_rectangle_in_histogram(heights): stack = [] max_area = 0 heights.append(0) # 添加哨兵简化边界条件 for idx, h in enumerate(heights): while stack and heights[stack[-1]] >= h: current_height = heights[stack.pop()] width = idx if not stack else (idx - stack[-1] - 1) max_area = max(max_area, current_height * width) stack.append(idx) heights.pop() # 移除哨兵恢复原数组状态 return max_area ``` 上述函数实现了对任意输入的一维直方图解最大矩形面积的功能,时间复杂度为 O(n)[^5]。 --- ##### 3. 整合过程 最后一步是将以上两部分结合起来完成整个算法流程。依次遍历矩阵的每一行,动态维护高度数组并通过单调栈获取局部最优解;局最优解则是这些局部结果中的最大者。 完整代码展示如下: ```python def maximalRectangle(matrix): if not matrix or not matrix[0]: return 0 rows, cols = len(matrix), len(matrix[0]) heights = [0] * cols max_area = 0 def calculate_max_area_with_stack(): nonlocal heights, max_area stack = [] heights.append(0) # 哨兵 for idx, h in enumerate(heights): while stack and heights[stack[-1]] >= h: current_height = heights[stack.pop()] width = idx if not stack else (idx - stack[-1] - 1) max_area = max(max_area, current_height * width) stack.append(idx) heights.pop() # 清理哨兵 for row in matrix: for j in range(cols): heights[j] = heights[j] + 1 if row[j] == '1' else 0 calculate_max_area_with_stack() return max_area ``` 整体时间复杂度为 O(m * n),空间复杂度主要取决于辅助使用的栈结构以及存储高度信息的数据结构,均为线性级别。 --- ### 结果验证 考虑样例输入: ``` [ ["1","0","1","0","0"], ["1","0","1","1","1"], ["1","1","1","1","1"], ["1","0","0","1","0"] ] ``` 执行上述程序可得出正确答案 `6`,与预期一致[^2]。 ---
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