15、无反馈电路与有限语言覆盖自动机最小化算法

无反馈电路与有限语言覆盖自动机最小化算法

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在无反馈电路的瞬态代数研究中，我们关注路径、输入输出字以及相关自动机的性质。对于图 $G′ {a(b)}$ 中的路径 $\pi$，我们用 $s_j$ 标记每一个 $s_j$ 发生变化的步骤。将沿着 $\pi$ 的标记连接起来得到的输入字 $u {\pi} \in I^{*} {i}$ 展示了 $s_i$ 的扇入变量如何沿着 $\pi$ 变化，而 $u {\pi}$ 产生的输出字 $v_{\pi}$ 则展示了激励 $S_i$ 在 $\pi$ 上的变化。设 $t_1, \ldots, t_k$ 是由 $u_{\pi}$ 确定的瞬态，则有以下两个结论：
1. 对于所有 $j \in [k]$，$\sigma^{\pi} {j} = t_j$。
2. $\Sigma^{\pi} {i} = \hat{v}_{\pi}$。

命题 3 指出，路径 $\pi$ 对于 $s_i$ 是最坏情况，当且仅当 $u_{\pi}$ 是 $(G_i, p^0_{i})$ 的最坏情况字。

在延迟自动机和门自动机方面，我们把寻找保持冒险的路径问题转化为寻找相关平衡字的问题，把寻找最坏情况路径问题转化为寻找最坏情况字的问题。对于无反馈电路的任何门变量 $s_i$，我们有其扇入集的延迟自动机 $D_{\varphi}(s_i)$ 和门自动机 $(G_i, p^0_{i})$。

对于任意字母表 $A$，一个字 $r \in A^{*}$ 被称为前缀受限的，如果 $r$ 有一个前缀 $r′$，该前缀恰好包含 $r$ 中每个字母的一次出现，我们称 $r′$