14、有限自动机电路表示的描述性与计算复杂性

有限自动机电路表示的描述性与计算复杂性

1. 引言

有限自动机是最流行的计算模型之一，状态复杂度是有限自动机最常用的复杂度度量。它在结构语言理论中表现出色，但并不总能反映自动机实现的复杂度或简单性。本文探讨另一种自动机复杂度度量：BC - 复杂度，旨在捕捉自动机实现的细节。

状态复杂度与状态最小化问题相关，而 BC - 复杂度与状态分配问题相关。状态分配是有限状态机综合中的经典问题，即如何将自动机的状态编码为二进制存储元件向量，使自动机的转移函数成为“最简单”的开关函数。

过去 40 年，该领域研究众多，但主要从功能优化角度出发，关注不同“最简单”开关函数概念下的最优状态分配方法。标准优化方法试图最小化状态变量间的依赖关系，以实现转移函数作为布尔电路的有效实现。也有其他简单性解释，如最小化存储元件的平均切换，对应电路的最小功耗。

直到最近，状态分配问题才从复杂度角度进行研究。BC - 复杂度对应开关函数“简单性”的标准解释，即电路中的门数量。大致模型是将有限自动机的输入和状态编码为位向量，转移函数编码为布尔电路，该电路的复杂度即为自动机（此电路表示）的 BC - 复杂度。

本文的贡献有三方面：
- 证明一个有用的引理（引理 3），可统一证明不同语言类的 BC - 复杂度下界。
- 用该引理证明给定非确定性状态复杂度的语言的 BC - 复杂度下界，并改进之前的上界，使二进制输入字母表的上下界仅相差一个常数乘法因子（最多为 4）。
- 考虑电路表示的 DFA 上各种算法的计算复杂度，证明许多简单问题（如确定状态是否可达）在此表示下是 PSPACE 完全的，特别是证明了电路表示的 DFA 和标准状态表表示的 NFA