hdu 3555 数位dp的dfs写法

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本文介绍了一种使用深度优先搜索(DFS)和动态规划(DP)的方法来统计指定范围内包含特定数字组合(如49)的整数个数。通过优化DP状态表示，简化了算法实现。

题意：给定一个long long类型能够存下的数字n，统计1~n之间含有49的数字的个数；

思路：初始版本：需要记录当前位置，前一位置放了那个数字，当前是否已经包含49，是否有上界这四个信息，也就是dfs的四个参数。dfs(pos,pre,istrue,limit);

其实这种做法有点相当于把普通的数位dp的求dp过程和最后总计的过程合二为一了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int T;
long long n;
long long dp[25][12][2];
int d[25],len;
long long dfs(int pos,int pre,int flag,bool limit){
    if(pos<0)
        return flag;
    if(!limit && dp[pos][pre][flag]!=-1)
        return dp[pos][pre][flag];
    long long res = 0;
    int last = limit?d[pos]:9;
    for(int i = 0;i<=last;i++)
        res += dfs(pos-1, i, flag || (pre==4&&i==9), limit&&(i==last));
    if(!limit)
        dp[pos][pre][flag] = res;
    return res;
}
long long solve(long long n){
    len = -1;
    while(n){
        d[++len] = n%10;
        n/=10;
    }
    return dfs(len,0,0,true);
}
int main(){
    scanf("%d",&T);
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    while(T--){
        scanf("%lld",&n);
        printf("%lld\n",solve(n));
    }
    return 0;
}

仔细想一下dp数组为什么要有pre那一维度。试想，如果传进来的时候flag已经为1，也就是说之前已经出现了49，那么此时不管pre取什么值，相应的dp都应该是一样的，也就是说dp[x][0...9][1]都是相同的。再考虑到这一位之前还没有出现49，而且前一位不是4，实际上此时不管pre取什么值也都是相同的；唯一的例外就是之前没有出现过49，而且前一位恰为4的情况。

换句话说，上述代码的dp数组的后两维实际上只需要三个状态就能够分别。分别为到d[pos]前一位已经出现了49，用2表示；d[pos]前一位没有出现49，但是前一位为4，用1表示；d[pos]前一位没有出现49，而且前一位不为4，用0表示。

相应的状态转移方程也比较好求，见如下代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
long long n,dp[25][3];
int T,d[25],len;
long long dfs(int pos,int pre,bool limit){
    if(pos<0)
        return pre==2;
    if(!limit && dp[pos][pre]!=-1)
        return dp[pos][pre];
    long long res = 0;
    int last = limit?d[pos]:9;
    for(int i = 0;i<=last;i++){
        if(pre == 0 || (pre==1&&i!=9))
            res += dfs(pos-1,i==4,limit&&(i==last));
        else
            res += dfs(pos-1, 2, limit&&(i==last));
    }
    if(!limit)
        dp[pos][pre] = res;
    return res;
}
long long solve(long long n){
    len = -1;
    while(n){
        d[++len] = n%10;
        n/=10;
    }
    return dfs(len,0,true);
}
int main(){
    scanf("%d",&T);
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    while(T--){
        scanf("%lld",&n);
        printf("%lld\n",solve(n));
    }
    return 0;
}