poj 2914 全局最小割（stoer_wagner算法）

最新推荐文章于 2021-11-18 20:05:22 发布

dumeichen

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分类专栏：图论——网络流图论——杂

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介绍了一个简单的最小割算法，该算法基于一个关键定理，通过Contract操作不断缩小图规模直至找到全局最小割。提供了完整的算法流程及求解任意s-t最小割的方法，并附带实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

来自文章：A Simple Min-Cut Algorithm。作者：MECHTHILD STOER，FRANK WAGNER。（看了一遍原文，想记录下来，看到http://www.cnblogs.com/ylfdrib/archive/2010/08/17/1801784.html 上有简介就摘过来了）

算法基于这样一个定理：对于任意s, t ∈ V ，全局最小割或者等于原图的s-t 最小割，或者等于将原图进行 Contract(s, t)操作所得的图的全局最小割（显然的，将s、t文类讨论，属于最小割的两部还是其中一部）。
假设不存在边(p, q)，则定义边(p, q)权值w(p, q) = 0 。
Contract 操作定义： Contract(a, b): 删掉点 a, b 及边(a, b)，加入新节点 c，对于任意 v∈V ，w(v, c) = w(c, v) = w(a, v) + w(b, v)

算法框架：
1. 设当前找到的最小割MinCut 为+∞
2. 在 G中求出任意 s-t 最小割 c（方法见下文），MinCut = min(MinCut, c)
3. 对 G作 Contract(s, t)操作，得到 G'=(V', E')，若|V'| > 1，则G=G'并转 2，否则MinCut 为原图的全局最小割。

求 G=(V, E)中任意 s-t 最小割的算法：
定义w(A, x) = ∑w(v[i], x)，v[i]∈A，x∉A。
定义 Ax 为在x 前加入 A 的所有点的集合（不包括 x）
1. 令集合 A={a}，a为 V中任意点
2. 选取 V - A中的 w(A, x)最大的点 x加入集合 A
3. 若|A|=|V|，结束
令倒数第二个加入 A的点为 s，最后一个加入 A的点为 t，则s-t 最小割为 w(At, t)（即t为一部，剩下的为另一部）。用归纳法证明，不难看懂。

2914题意：裸的全局最小割，两点之间可能有多条边，那么边数就当做权值即可。

思路：上述算法（未加堆优化，时间复杂度O(n^3)）。

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
#define INF 0x3fffffff
#define clr(s,t) memset(s,t,sizeof(s));
#define N 505
int g[N][N],n,m;
int del[N],used[N],dis[N];
int test(int num){
    int i,j,s,t,now,mm;
    clr(used, 0);
    for(i = 1;i<n;i++)
        if(!del[i])
            dis[i] = g[0][i];
    for(i = 1,t = 0;i<num;i++){
        mm = 0;
        for(j = 1;j<n;j++){//找新加入的点，即和已加入点集里面点的路径和最大的点
            if(!del[j] && !used[j] && dis[j]>mm){
                mm = dis[j];
                now = j;
            }
        }
        if(mm==0)//说明找不到，不连通，那么连通度必然为0
            return 0;
        used[now] = 1;
        s = t;
        t = now;
        for(j = 1;j<n;j++)//更新距离
            if(!del[j] && !used[j])
                dis[j] += g[now][j];
    }
    del[t] = 1;//缩点，将t缩到s
    for(i = 0;i<n;i++)
        if(!del[i] && i!=s)
            g[i][s] = (g[s][i] += g[i][t]);
    return dis[t];
}
int main(){
    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){
        int i,a,b,c,res=INF;
        clr(g, 0);
        clr(del, 0);
        for(i = 1;i<=m;i++){
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
            g[a][b] += c;
            g[b][a] += c;
        }
        for(i = 0;i<n-1;i++){
            res = min(res,test(n-i));
            if(!res)
                break;
        }
        printf("%d\n",res);
    }
    return 0;
}