SLAM中的坐标变换

​  在SLAM经常需要谈论一件事情,就是坐标系变换与坐标变换,坐标系变换和坐标变换是不一样的,要注意区分两者的不同。在nnn维线性空间中,任意nnn个线性无关的向量都可取作它的基或坐标系。但是对于不同的基或坐标系,同一个向量的坐标是不同的,下面讨论当基改变时,向量的坐标是如何变化的。

一、基变换

x1\pmb x_{1}xxx1x2\pmb x_{2}xxx2,…,xn\pmb x_{n}xxxn是旧基,y1\pmb y_{1}yyy1y2\pmb y_{2}yyy2,…,yn\pmb y_{n}yyyn是新基,则根据基的定义可以知道
在这里插入图片描述
或者形式的写成
在这里插入图片描述
其中矩阵C\pmb CCCC称作由旧基到新基的过渡矩阵,过渡矩阵代表了坐标系变换或者基变换,可以证明过渡矩阵是非奇异矩阵

二、坐标变换

​  当我们知道了坐标系的变换之后就可以求解坐标变换的问题了,假设一个向量p\pmb pppp在旧基下的坐标为(ξ1,ξ2,...,ξn)T(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{n})^T(ξ1,ξ2,...,ξn)T,在新基下的坐标为(η1,η2,...,ηn)T(\eta_{1},\eta_{2},...,\eta_{n})^T(η1,η2,...,ηn)T,那么有:
p=ξ1x1+ξ2x2+...+ξnxn=η1y1+η2y2+...+ηnyn\pmb p=\xi_{1}\pmb x_{1}+\xi_{2}\pmb x_{2}+...+\xi_{n}\pmb x_{n}=\eta_{1}\pmb y_{1}+\eta_{2}\pmb y_{2}+...+\eta_{n}\pmb y_{n}ppp=ξ1xxx1+ξ2xxx2+...+ξnxxxn=η1yyy1+η2yyy2+...+ηnyyyn
根据过渡矩阵,可以得到:
(η1,η2,...,ηn)T=C−1(ξ1,ξ2,...,ξn)T(\eta_{1},\eta_{2},...,\eta_{n})^T = C^{-1}(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{n})^T(η1,η2,...,ηn)T=C1(ξ1,ξ2,...,ξn)T
上式即为同一向量在不同坐标系下的坐标变换,可以看到坐标变换矩阵是基变换矩阵的

三、旋转矩阵与平移向量

  在视觉SLAM中,相机运动属于刚体运动,而刚体运动可以分解为旋转和平移。当定义好了相机坐标系后,相机坐标系的旋转可以用旋转矩阵来表示,平移可以用平移向量来表示,注意,这里旋转矩阵和平移向量一般在世界坐标系下的表达。假设相机坐标系1经过旋转和平移变成了坐标系2,将坐标系1设为世界坐标系,旋转矩阵为R\pmb RRRR,平移向量为t\pmb tttt,某向量在坐标系1中的坐标为a=(a1,a2,a3)T\pmb a=(a_{1},a_{2},a_{3})^Taaa=(a1,a2,a3)T,在坐标系2中的坐标系为b=(b1,b2,b3)T\pmb b=(b_{1},b_{2},b_{3})^Tbbb=(b1,b2,b3)T,则
a=Rb+t\pmb a=\pmb R\pmb b+\pmb taaa=RRRbbb+ttt
旋转矩阵是正交阵,自然也是非奇异矩阵。上述坐标是用非齐次坐标来表示的,如果改成齐次坐标:a′=(a1,a2,a3,1)T\pmb a^{'}=(a_{1},a_{2},a_{3},1)^Taaa=(a1,a2,a3,1)Tb′=(b1,b2,b3,1)T\pmb b^{'}=(b_{1},b_{2},b_{3},1)^Tbbb=(b1,b2,b3,1)T
则上式可以写成更简单的表达方式:
a′=Tb′\pmb a^{'}=\pmb T\pmb b^{'}aaa=TTTbbb
其中
在这里插入图片描述
T\pmb TTTT称作变换矩阵(Transformation Matrix),用于描述欧式变换。
那么旋转矩阵和基变换是什么关系呢?答:旋转矩阵就是基变换,但旋转矩阵和平移向量构成的变换不是基变换。

四、位姿

​  位姿在视觉SLAM中是指每一帧对应的相机坐标系相对于世界坐标系(或初始帧相机坐标系)的刚体运动:即旋转矩阵和平移向量,故位姿是坐标系的变换而非坐标变换。有了每一帧的位姿,我们就可以得到相机的运动轨迹。

<think>好的,用户想了解SLAM技术中的坐标系转换实现。首先我需要回忆一下SLAM中的常见坐标系,比如世界坐标系、地图坐标系、传感器坐标系、机器人本体坐标系等。根据提供的引用内容,用户提到了ENU坐标系和WGS84坐标系的优缺点,以及转换公式。 首先,我应该明确各个坐标系的作用。比如,世界坐标系(world)通常是固定的全局参考系,而机器人本体坐标系(base_link)用于描述机器人自身的位置。地图坐标系(map)可能与世界坐标系相关,但可能有不同的原点或表示方式。根据引用[1],转换关系涉及到mapTgrid、mapTodom和odomTbase_link,这说明存在多个坐标系转换链条。 接下来,需要解释如何通过矩阵乘法进行坐标系间的转换。例如,用户提供的公式gridTbase_link = mapTgrid.inverse() * convert_transform_25(mapTodom) * odomTbase_link,这里的每一步都代表不同坐标系之间的变换矩阵相乘。需要注意的是,矩阵的逆表示反向转换,比如mapTgrid的逆就是将grid坐标系转换回map坐标系。 然后,引用[3]提到T_c_w是欧式变换矩阵,包含旋转R和平移t,用于将世界坐标系的点转换到相机坐标系。这涉及到齐次坐标的转换,即T * P_world得到相机坐标系下的点。这部分需要详细说明旋转矩阵和平移向量的组合方式。 此外,引用[2]讨论了ENU和WGS84坐标系的优缺点。ENU在计算距离时方便,但需要转换为WGS84进行输出;而WGS84虽然通用,但计算时可能存在数值问题。这可能需要解释为什么在SLAM中选择不同的坐标系,以及转换时的注意事项,比如避免矩阵求逆的问题,采用序贯滤波等方法。 用户可能还想知道具体的实现步骤,比如如何构建变换矩阵,如何处理传感器数据中的坐标转换,以及在实际应用中的优化方法。需要结合代码示例,比如展示如何用C++或Python表示变换矩阵,并进行乘法运算。同时,要强调齐次坐标的重要性,以及如何分解旋转和平移部分。 最后,需要生成相关问题,帮助用户进一步学习,比如性能优化、不同场景下的应用、常见问题的解决方法等。要确保问题覆盖用户可能感兴趣的方面,并引导他们深入理解坐标系转换SLAM中的实际应用。</think>### SLAM技术中的坐标系转换实现 在SLAM(同时定位与建图)技术中,坐标系转换是实现定位和地图构建的核心环节。以下是关键概念与实现方法的分步说明: --- #### **1. SLAM中的常见坐标系** - **世界坐标系(World Frame)**:全局固定参考系,通常与地图原点关联[^1]。 - **地图坐标系(Map Frame)**:建图过程中生成的坐标系,可能与世界坐标系重合或独立。 - **里程计坐标系(Odom Frame)**:通过传感器(如轮式编码器)累积的局部坐标系,随时间漂移。 - **机器人本体坐标系(Base Link)**:以机器人中心为原点的坐标系,用于描述自身位姿。 - **传感器坐标系(如Camera Frame)**:相机、雷达等传感器的本地坐标系。 --- #### **2. 坐标系转换的数学基础** 坐标系间的转换通过**欧式变换矩阵**($T$)实现,包含旋转矩阵$R$和平移向量$t$,其齐次形式为: $$ T = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 例如,将世界坐标系下的点$P_{\text{world}}$转换到相机坐标系: $$ P_{\text{camera}} = T_{\text{c\_w}} \cdot P_{\text{world}} $$ 其中$T_{\text{c\_w}}$表示从世界到相机的变换矩阵[^3]。 --- #### **3. 坐标系转换的实现步骤** **步骤1:定义变换关系链** 典型转换链为: `地图坐标系 → 里程计坐标系 → 机器人本体坐标系` 对应的公式为: $$ T_{\text{grid\_to\_base}} = T_{\text{map\_to\_grid}}^{-1} \cdot T_{\text{map\_to\_odom}} \cdot T_{\text{odom\_to\_base}} $$ 此处通过逆矩阵实现坐标系的反向转换。 **步骤2:处理传感器数据** 假设激光雷达数据在`base_link`坐标系下,需将其转换到`map`坐标系: $$ P_{\text{map}} = T_{\text{map\_to\_odom}} \cdot T_{\text{odom\_to\_base}} \cdot P_{\text{base}} $$ **步骤3:优化与融合** 使用滤波算法(如卡尔曼滤波)或优化库(如g2o)对多传感器数据融合,修正坐标系间的累积误差。 --- #### **4. 实现示例(C++伪代码)** ```cpp // 定义变换矩阵 Eigen::Matrix4d mapTodom = getMapToOdomTransform(); Eigen::Matrix4d odomTbase = getOdomToBaseTransform(); // 计算base_link在map坐标系下的位姿 Eigen::Matrix4d mapTbase = mapTodom * odomTbase; // 坐标转换示例:将点从base_link转换到map Eigen::Vector4d point_base(1.0, 0.0, 0.0, 1.0); // 齐次坐标 Eigen::Vector4d point_map = mapTbase * point_base; ``` --- #### **5. 关键问题与优化** - **ENU与WGS84坐标系的取舍**: - ENU坐标系(东-北-天)便于局部计算,但需转换为WGS84(经纬高)与地理坐标兼容[^2]。 - 转换时需注意数值稳定性(如避免矩阵求逆发散问题)。 - **漂移修正**:通过闭环检测(Loop Closure)重置里程计坐标系与地图坐标系的关系。 ---
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