SLAM中各个坐标系之间的转换

在视觉SLAM中，有几个基本的坐标系

• 世界坐标系
• 相机坐标系
• 成像平面坐标系
• 图像像素坐标系

如何在各坐标系之间相互转换，把摄像头输出的2D图像和我们所在的三维世界一一对应，是SLAM技术研究的一大重点，从世界坐标系如何在各坐标系之间相互转换，把摄像头输出的2D图像和我们所在的三维世界一一对应，是SLAM技术研究的一大重点是一个小孔成像的模型，其中：

  [1]O点表示camera centre，即相机的中心点，也是相机坐标系的中心点；

  [2]z轴表示principal axis，即相机的主轴；

  [3]q点所在的平面表示image plane，即相机的像平面，也就是图片坐标系所在的二维平面；

  [4]O1点表示principal point，即主点，主轴与像平面相交的点；

  [5]O点到O1点的距离，也就是右边图中的f,即相机的焦距；

  [6]像平面上的x和y坐标轴是与相机坐标系上的X和Y坐标轴互相平行的；

  [7]相机坐标系是以X,Y,Z（大写）三个轴组成的且原点在O点，度量值为米（m）；

  [8]像平面坐标系是以x,y（小写）两个轴组成的且原点在O1点，度量值为米（m）；

  [9]像素坐标系一般指图片相对坐标系，在这里可以认为和像平面坐标系在一个平面上，不过原点是在图片的角上，而且度量值为像素的个数（pixel）；

2、相机坐标系→成像平面坐标系

[1]以O点为原点建立摄像机坐标系。点Q(X,Y,Z)为摄像机坐标系空间中的一点，该点被光线投影到图像平面上的q(x,y,f)点。

图像平面与光轴z轴垂直，和投影中心距离为f （f是相机的焦距）。按照三角比例关系可以得出：

x/f = X/Z       y/f = Y/Z   ，即 x = fX/Z       y = fY/Z

以上将坐标为(X,Y,Z)的Q点映射到投影平面上坐标为(x,y)的q点的过程称作投影变换。

上述Q点到q点的变换关系用3*3的矩阵可表示为：q = MQ，其中

  
    最终得出透视投影变换矩阵为：

（1）

M称为摄像机的内参数矩阵，单位均为物理尺寸。

通过上面，可以把相机坐标系转换到像图像坐标系的物理单位[即(X,Y,Z)→(x,y)]

3、成像平面坐标系→像素坐标系

通过下面，可以把像平面坐标系物理单位到像素单位[即→(u,v)]

 

以图像平面的左上角或左下角为原点建立坐标系。假设像平面坐标系原点位于图像左下角，水平向右为u轴，垂直向上为v轴，均以像素为单位。

以图像平面与光轴的交点O₁ 为原点建立坐标系，水平向右为x轴，垂直向上为y轴。原点O₁一般位于图像中心处，O₁在以像素为单位的图像坐标系中的坐标为(u_0, v₀)。

像平面坐标系和像素坐标系虽然在同一个平面上，但是原点并不是同一个。

设每个像素的物理尺寸大小为 dx * dy (mm) ( 由于单个像素点投影在图像平面上是矩形而不是正方形，因此可能dx != dy)，

图像平面上某点在成像平面坐标系中的坐标为(x, y)，在像素坐标系中的坐标为(u, v)，则二者满足如下关系：[即(x, y)→(u, v)]

u = x / dx + u₀            v = y / dy +  v₀

用齐次坐标与矩阵形式表示为：

 将等式两边都乘以点Q(X,Y,Z)坐标中的Z可得：

  将摄像机坐标系中的（1）式代入上式可得：

  则右边第一个矩阵和第二个矩阵的乘积亦为摄像机的内参数矩阵（单位为像素），相乘后可得：

（2）

 和（1）式相比，此内参数矩阵中f/dx, f/dy, c_x/dx+u0,c_y/dy+v0  的单位均为像素。令内参数矩阵为K，则上式可写成：

（3）