Queuing（矩阵快速幂（递推and模板））

最新推荐文章于 2019-08-02 19:11:00 发布

起风了_唯有努力生存

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分类专栏： ACM竞赛【数论】--矩阵快速幂 ACM的进程

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/duan_1998/article/details/72810923

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【数论】--矩阵快速幂

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂的方法来解决特定队列计数问题。该问题要求找出长度为k的队列中，不包含特定模式的队列数量。通过构建特定的矩阵并使用快速幂算法进行高效计算，最终得到了问题的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目来源】：https://vjudge.net/problem/HDU-2604
【题意】
f，m分别是female与male的缩写，假设有一个队列里面是这些字母缩写，长度为L，那么共有2^L种，如果含有fmf或者fff这种子队列的队列被称为0队列，其余的被称为E队列，问，长度为k的有多少种E队列。
【思路】
先推出前几项，得到：
f[0]=0,f[1]=2,f[2]=4,f[3]=6,f[4]=9,f[5]=15,f[6]=25;
故得到关系式：f[x]=f[x-1]+f[x-3]+f[x-4]。
其中x>=5.
所以（矩阵1）^(k-4)*矩阵2=矩阵3
我们要求矩阵3，首先要构造矩阵1和矩阵2。
那么怎么构造呢？
首先，构造矩阵1：
在f[x]=f[x-1]+f[x-3]+f[x-4]式子里：（一般递推的矩阵2都是由关系式得来的）
f[x]=f[x-1]++0*f[x-2]+f[x-3]+f[x-4]。
f[x-1]=1*f[x-1]；
f[x-2]=1*f[x-2]；
f[x-3]=1*f[x-3]；
f[x-4]=1*f[x-4]；
得到矩阵：
1 0 1 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
接着就是构造矩阵2：
f[x-1] 0 0 0
f[x-2] 0 0 0
f[x-3] 0 0 0
f[x-4] 0 0 0
……
没啦。。。质疑可以发评论讨论一下0.0 交流0.0
【代码】

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<limits.h>
#include<algorithm>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int mod=9973;
typedef unsigned long long ll;
typedef long long LL;
int k,m;
struct mat
{
    int a[5][5];
    mat()
    {
        mem(a,0);
        for(int i=1; i<=4; i++)
            a[i][i]=1;
    }
};
mat operator*(mat s,mat t)
{
    mat r;
    mem(r.a,0);
    for(int i=1; i<=4; i++)
    {
        for(int j=1; j<=4; j++)
        {
            for(int p=1; p<=4; p++)
            {
                r.a[i][j]=r.a[i][j]+s.a[i][p]*t.a[p][j];
                if(r.a[i][j]>=m)
                    r.a[i][j]%=m;
            }
        }
    }
    return r;
}
void print(mat t)
{
    for(int i=1; i<=4; i++)
    {
        for(int j=1; j<=4; j++)
        {
            printf("%d ",t.a[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}
mat pow_mat(mat &ans)
{
    mat base,temp;
    mem(base.a,0);
    base.a[1][1]=1;
    base.a[1][3]=1;
    base.a[1][4]=1;
    for(int i=2; i<=4; i++)
        base.a[i][i-1]=1;
    k-=4;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            temp=temp*base;
        base=base*base;
        k>>=1;
    }
//    print(temp);
    ans=temp*ans;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&k,&m))
    {
        if(k<5)
        {
            int p=0;
            switch(k)
            {
            case 0:
                p=0;
                break;
            case 1:
                p=2;
                break;
            case 2:
                p=4;
                break;
            case 3:
                p=6;
                break;
            case 4:
                p=9;
                break;
            }
            printf("%d\n",p%m);
        }
        else
        {
            mat ans;
            mem(ans.a,0);
            ans.a[1][1]=9;
            ans.a[2][1]=6;
            ans.a[3][1]=4;
            ans.a[4][1]=2;
            pow_mat(ans);
            printf("%d\n",(ans.a[1][1])%m);
        }
    }

}