蓝桥杯：递推求值（快速幂，矩阵快速幂）

快速幂就是快速计算m^n
“快”主要体现在它把复杂度从一般循环计算的o(n)级别降低到了o(logn)级别。
一般情况下，m^n=m*m*m*…*m,实现就是用一般的循环计算来实现。
而快速幂的想法是将m^n表示成m^(2^a1+2^a2…),2^a1+2^a2+…=n;

我们现在假设n=10;
一般想法就是将m乘以10次，用简单的for循环就能实现。
这个是快速幂的代码

int qmul(int m,int n)
{
    int res=1;//存储结果
    while(n)
    {
        if(n%2==1) res*=m;
        m=m*m;
        n>>=1;//二进制去掉最后一位
    }
    return res;
}

快速幂想法就是m^10=m^(2^3+2^1)=m^(2^3)*m^(2^1)=m^8*m^2
在代码中，m=m*m让m以指数倍的速度增长着。
m一开始不变，在循环时，m的值依次为 m^2 m^4 m^8 m^16 …那0
n=10时，我们只需要筛选出我们需要的，即m^2 , m^8

而 if(n%2==1) 就是筛选条件。n%2==1等价于n的二进制末位是1
10的二进制表示是1010，很明显为1项才是我们需要的
n>>1的作用是去掉二进制最后一位，即1010变成了101
当n的末位为1时，m就会正好变到了我们想要的值，这个可以自己手动执行看看。
矩阵快速幂其实就是把m换成矩阵，然后自己写一下矩阵乘法就行。
最近在刷蓝桥杯上的题目，那个递推求值就可以用矩阵快速幂做。
题目如下：
已知递推公式：

　　F(n, 1)=F(n-1, 2) + 2F(n-3, 1) + 5,

　　F(n, 2)=F(n-1, 1) + 3F(n-3, 1) + 2F(n-3, 2) + 3.

　　初始值为：F(1, 1)=2, F(1, 2)=3, F(2, 1)=1, F(2, 2)=4, F(3, 1)=6, F(3, 2)=5。
　　输入n，输出F(n, 1)和F(n, 2)，由于答案可能很大，你只需要输出答案除以99999999的余数。

题目n的取值范围很大，所以一般的方法肯定会超时，用快速幂降低时间复杂度就很必要。
代码如下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 7
#define mod 99999999
typedef struct Matrix{
    long long int mat[N][N];

}Matrix;
Matrix unit={
    1,0,0,0,0,0,0,
    0,1,0,0,0,0,0,
    0,0,1,0,0,0,0,
    0,0,0,1,0,0,0,
    0,0,0,0,1,0,0,
    0,0,0,0,0,1,0,
    0,0,0,0,0,0,1
};
Matrix base={
    0,1,0,0,2,0,5,
    1,0,0,0,3,2,3,
    1,0,0,0,0,0,0,
    0,1,0,0,0,0,0,
    0,0,1,0,0,0,0,
    0,0,0,1,0,0,0,
    0,0,0,0,0,0,1
};
Matrix ans={
    6,0,0,0,0,0,0,
    5,0,0,0,0,0,0,
    1,0,0,0,0,0,0,
    4,0,0,0,0,0,0,
    2,0,0,0,0,0,0,
    3,0,0,0,0,0,0,
    1,0,0,0,0,0,0,
}; 
Matrix mul(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix res;
    memset(res.mat,0,sizeof(res.mat));
    int i,j,k;
    for(i=0;i<N;i++)
    {
        for(j=0;j<N;j++)
        {

            for(k=0;k<N;k++)
            {
                res.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
                res.mat[i][j]%=99999999;
            }

        }
    }
    return res;
}
Matrix qmul(Matrix m,long long int n)
{
    Matrix res;
    res=unit;
    while(n!=0)
    {
        if(n%2==1)res=mul(m,res);
        m=mul(m,m);
        n=n>>1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    long long int n;
    scanf("%lld",&n);
    if(n==1)
    {
        printf("2\n3\n");
    }
    else if(n==2)
    {
        printf("1\n4\n");
    }
    else if(n==3)
    {
        printf("6\n5\n");
    }
    else 
    {
        base=qmul(base,n-3);
        ans=mul(base,ans);
        printf("%lld\n%lld\n",ans.mat[0][0],ans.mat[1][0]);
    }

    return 0;
}

这道题目主要是需要根据题意，得到关于矩阵的递推方程

F(n,1)    0 ...0        0 1 0 0 2 0 5       F(n-1,1)    0 ...0   
F(n,2)    0 ...0        1 0 0 0 3 2 3       F(n-1,2)    0 ...0
F(n-1,1)  0 ...0        1 0 0 0 0 0 0       F(n-2,1)    0 ...0
F(n-1,2)  0 ...0    =   0 1 0 0 0 0 0   x   F(n-2,2)    0 ...0
F(n-2,1)  0 ...0        0 0 1 0 0 0 0       F(n-3,1)    0 ...0
F(n-2,2)  0 ...0        0 0 0 1 0 0 0       F(n-3,2)    0 ...0
1         0 ...0        0 0 0 0 0 0 1       1           0 ...0

根据这个方程做题就可以了。