第一型曲线积分的数值实现

本文通过一维的高斯数值积分，进行第一型曲线积分的数值实现。一维的高斯数值积分实现已在博主之前的文章当中给出，本文不再叙述，并且可以通过Gauss_int_1D函数来直接调用。

对于第一型曲线积分，即

其中为从)到的光滑线段，有函数表达式.

那么，通过高等数学中的知识，我们可以得到

此时，原曲线积分变成了一维上的定积分，这样我们就可以通过映射：，即

将原区间投影到[-1,1]的高斯数值积分标准区间上面.此时可以得到积分为

那么下面我将叙述数值实现，代码均通过Matlab完成

function [r] = Cal_Line_int(a,b,f,phi)
%a为曲线的左端点，即(x1,y1)
%b为曲线的右端点，即(x2,y2)
%f为被积函数
%phi为a与b的线段函数表达式
    x_1 = a(1);
    y_1 = a(2);
    x_2 = b(1);
    y_2 = b(2);
    f_1 = subs(f,y,phi);
    psi = (x_2-x_1)*(t+1)/2+x_1;
    f_2 = subs(f_1,x,psi);
    phi_1 = subs(phi,x,psi);
    gauss_f = f_2*sqrt(1+(diff(phi_1))^2)*(x_2-x_1)/2;
    r = guass_int_1D(gauss_f);
end

注:其中

f_1为中的，

f_2为中的，

gauss_f为中的.