数字信号处理(六)IIR数字滤波器的设计

数字滤波器

什么是数字滤波器？

指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。是离散系统的通用名称。

数字滤波器的分类：

经典滤波器，特点是其输入信号中有用的频率成分和期望滤除的频率成分各占不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除某个频带或频率成分的干扰，得到纯净信号，达到滤波的目的

现代滤波器，用于信号与干扰的频带互相重叠的情况，现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度的抑制干扰，恢复信号，从而达到滤波的目的，如维纳滤波器、卡尔曼滤波器等

经典数字滤波器从滤波特性上可分为低通、高通、带通、带阻和全通

数字滤波器从单位脉冲响应长度分类，可分为无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器和有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器

离散线性时不变系统的差分方程为：$y(n)={\sum }_{i=0}^M{b}_{i}x(n-i)-{\sum }_{k=1}^N{a}_{k}y(n-k)$，那么其系统函数可表示为：$H(z)=\frac{{\sum }_{i=0}^M{b}_i{z}^{-i}}{1+{\sum }_{k=1}^N{a}_k{z}^{-k}}$

• 当N≥1，$a_k$中至少有一个非零系数时，该系统中存在反馈回路，其所对应的滤波器称作无限长脉冲响应滤波器（infinite impulse response filter），简称IIR滤波器。N是IIR滤波器的阶数，表示系统中反馈环的个数。一般假定IIR数字滤波器满足M≤N，这时将系统称为N阶的IIR数字滤波器。
• 当$a_k$均为零系数时，其所对应的滤波器称作有限长脉冲响应滤波器（finite impulse response filter），简称FIR滤波器

数字滤波器技术指标

常用的数字滤波器一般属于选频滤波器，假设数字滤波器的频率响应函数$H(e^{jw})$用下式表示：
$$H(e^{jw})=|H(e^{jw})|e^{j\theta (w)}$$

• $|H(e^{jw})|$称为幅频特性函数，表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况
• $\theta (\omega )$为相频特性函数，反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况
• 一般选频滤波器的技术指标由幅频特性给出

实际滤波器的通带和阻带中都允许有一定的误差容限，即通带不是完全平的，阻带不是绝对衰减到零，通带和阻带之间还有一定的过渡带

数字低通滤波器的幅频响应曲线

通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，归一化后通带衰减${\alpha }_p$和阻带衰减${\alpha }_s$分别定义为：
$${\alpha }_p=-20lg|H_a(j{\omega }_p)|dB$$

$${\alpha }_s=-20lg|H_a(j{\omega }_s)|dB$$

当幅度下降到$\sqrt{2}/2$时，$\omega ={\omega }_c$，此时${\alpha }_p=3dB$，称为3dB通带截止频率

${\omega }_p,{\omega }_s,{\omega }_c$统称为边界频率，它们是数字滤波器的重要参数

IIR滤波器设计方法

直接法： 直接在频域或者时域中设计数字滤波器

间接法： 借助于模拟滤波器的设计原型进行设计的，又称滤波器的函数模型设计法，较常用。

IIR滤波器的函数模型设计法(间接法)

在IIR滤波器设计过程中，通常利用模拟滤波器来设计数字滤波器

借助模拟滤波器的设计方法的基本步骤：

• 将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标

• 按转换后技术指标、设计模拟低通滤波器的$H_a(s)$

• 然后将$H_a(s)$按某种方法转换成数字滤波器的系统函数$H(z)$

• 如果不是低通，则必须先将其转换成低通模拟滤波器的技术指标

• 设计过程中用到的两种变换：

  ①频带变换： 将低通转换为高通、带通、带阻滤波器

  ②变换域变换： 将模拟滤波器转换成数字滤波器，从s->z或者$H_a(s)->H(z)$的变换

IIR滤波器的间接设计法是以模拟滤波器为基础的，有若干典型的模拟滤波器原型可供选择：

• 巴特沃思滤波器：具有单调下降的幅频特性
• 切比雪夫滤波器：幅频特性在通带或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性
• 椭圆滤波器：选择性相对前两种是最好的，单通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重
• 贝塞尔滤波器

模拟低通滤波器的技术指标

模拟低通滤波器的技术指标有${\alpha }_p,{\Omega }_p,{\alpha }_s,{\Omega }_s$，其中${\Omega }_p和{\Omega }_s$分别称为通带截止频率和阻带截止频率，${\alpha }_p$是通带内的最大允许衰减，${\alpha }_s$是阻带内最小允许衰减。归一化的${\alpha }_p,{\alpha }_s$分别表示如下：
$${\alpha }_p=-10lg|H_a(j{\Omega }_p){|}^{2}dB$$

$${\alpha }_s=-10lg|H_a(j{\Omega }_s){|}^{2}dB$$

$H_a(j{\Omega }_c)=\sqrt{2}/2$时，$-10lg|H_a(j{\Omega }_c){|}^2=3dB$，故称${\Omega }_c$为模拟低通滤波器的3dB截止频率

模拟低通滤波器的上述技术指标给定后，需要设计滤波器的系统函数$H_a(s)$，具体步骤如下：

如果我们能由${\alpha }_p,{\Omega }_p,{\alpha }_s,{\Omega }_s$，求出$|H_a(j\Omega ){|}^2$，根据$|H_a(j\Omega ){|}^2=H_a(j\Omega )H_a^{\ast }(j\Omega )=H_a(s)H_a(-s){|}_{s=j\Omega }$，$H_a(s)H_a(-s)$的极点是对称的，$H_a(s)$必须是因果稳定的，因此极点必须落在s平面的左半平面，相应的$H_a(-s)$的极点必须落在s平面的右半平面。由此，可求出$H_a(s)$

模拟滤波器原型介绍

1、巴特沃斯模拟低通滤波器

介绍

特点：通带和阻带的幅度响应都是平的

N阶巴特沃斯(Butterworth)模拟低通滤波器的幅频响应的平方函数为：
$$|H_a(j\Omega ){|}^2=\frac{1}{1+(\Omega /{\Omega }_c{)}^{2N}}$$
其中${\Omega }_C$是巴特沃斯低通滤波器的3dB截止频率
$$|H_a(j0){|}^2=1,|H_a(j\infty ){|}^2=0$$

巴特沃斯模拟低通滤波器的性质：

①幅频响应平方函数$|H_a(j\Omega ){|}^2$是 $\Omega$的单调减函数 ：
$$\frac{d|H_a(j\Omega ){|}^2}{d\Omega }=-[1+(\Omega /$$