数字信号处理(七)FIR数字滤波器的设计

FIR滤波器

滤波器的单位脉冲响应h(n)是有限长序列，N-1阶FIR数字滤波器的系统函数为:
$$H(z)=\sum _{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n}$$
稳定和线性相位特性是FIR滤波器最突出的优点

线性相位FIR滤波器的条件及特点

线性相位FIR滤波器

对于长度为N的h(n)，频率响应函数为：
$$H(e^{j\omega })=\sum _{n=0}^{N-1}h(n)e^{-j\omega n}=H_g(\omega )e^{j\theta (\omega )}$$
式中，$H_g(\omega )$为幅度特性，为$\omega$的实函数，可能取负值，不同于$|H(e^{j\omega })|$(只为正值)；$\theta (\omega )$为相位特性

线性相位条件

$H(e^{j\omega })$线性相位是指$\theta (\omega )$是$\omega$的线性函数，即
$$\theta (\omega )=-\tau \omega ,\tau 为常数，该式属于严格线性相位(第一类线性相位)$$
但是，如果$\theta (\omega )$满足下式：
$$\theta (\omega )={\theta }_0-\tau \omega ,{\theta }_0是初始相位，该式属于广义线性相位(第二类线性相位)$$
严格地说，此时$\theta (\omega )$不具有线性相位

但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即:$-\frac{d\theta (\omega )}{d\omega }=\tau$

为了使滤波器对实信号的处理结果仍然是实信号，一般要求h(n)为实序列：

• 满足第一类线性相位的时域约束条件是：h(n)是实序列，且对(N-1)/2偶对称，即：$\tau =(N-1)/2,h(n)=h(N-n-1)$
• 满足第二类线性相位的时域约束条件是：h(n)是实序列，且对(N-1)/2奇对称，即：$\tau =(N-1)/2,h(n)=-h(N-n-1)$

线性相位FIR滤波器幅度特性

当N取奇数和偶数时，对$H_g(\omega )$的约束不同，因此，对于两类线性相位特性，分四种情况讨论其幅度特性的特点

类型1：h(n)=h(N-n-1)，N=奇数

推导其频率响应：

令m=N-1-n，有：
$$H(e^{j\omega })=\sum _{n=0}^{(N-3)/2}h(n)e^{-j\omega n}+h(\frac{N-1}{2})\cdot e^{-j(N-1)\omega /2}+\sum _{m=0}^{(N-3)/2}h(N-1-m)e^{-j(N-1-m)\omega }$$
利用h(n)的对称性：h(N-1-m)=h(m)，并提取$e^{-j(N-1)\omega /2}$项
$$\begin{gathered} H(e^{j\omega })=\sum _{n=0}^{(N-3)/2}h(n)e^{-j\omega n}+h(\frac{N-1}{2})\cdot e^{-j(N-1)\omega /2}+\sum _{m=0}^{(N-3)/2}h(N-1-m)e^{-j(N-1-m)\omega } \\ =e^{-j(N-1)\omega /2}[\sum _{m=0}^{(N-3)/2}h(m)e^{-j\omega m}{e}^{j(N-1)\omega /2}+\sum _{m=0}^{(N-3)/2}h(m)e^{j\omega m}{e}^{-j(N-1)\omega /2}+h(\frac{N-1}{2})] \\ =e^{-j(N-1)\omega /2}[2\sum _{m=0}^{(N-3)} \end{gathered}$$