数字信号处理(三)离散时间信号的Z变换

什么是Z变换

Z变换（Z-transformation）是对离散序列进行的一种数学变换，常用于求线性时不变差分方程的解。它可将离散时间序列变换为在复频域的表达式，可将差分方程转化为代数方程。它在离散时间信号处理中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具。

离散时间信号的Z变换的定义

序列x(n)的Z变换定义为
$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}$$

z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在$\pm \infty$之间求和，称为双边Z变换。

单边Z变换的定义如下：
$$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x(n)z^{-n}$$
Z变换存在的条件是上式等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x(n)z^{-n}|<\infty$$
使得上式成立，z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状区域来表示
$$R_{x-}<|z|<R_{x+}$$

Z变换收敛域的特性

1、有限长序列

如序列x(n)满足下式：
$$x(n)=\{\begin{array}{ll}x(n)& n_1\le n\le n_2\\ 0& 其他\end{array}$$

其Z变换为 $X(z)={\sum }_{n=n_1}^{n_2}x(n)z^{-n}$

如果$n_1<0$，X(z)中包含$z^{-n}$的项，$|z|->\infty ,|z^{-n_1}|->\infty$，所以X(z)的收敛域不包括$\infty$点；

同理，如果$n_2>0$，则收敛域不包括z=0点

因此，具体有限长序列的收敛域表示如下：

$n_1<0,n_2\le 0时，0\le |z|<\infty$

$n_1<0,n_2>0时，0<|z|<\infty$

$n_1\ge 0,n_2>0时，0<|z|\le \infty$

2、右序列

右序列是在$n\ge n_1$时，序列值不全为零，而其他$n<n_1$，序列值全为零
$$X(z)=\sum _{n=n_1}^{\infty }x(n)z^{-n}=\sum _{n=n_1}^{-1}x(n)z^{-n}+\sum _{n=0}^{\infty }x(n)z^{-n}$$
第一项为有限长序列，设$n_1\le -1$，其收敛域$0\le |z|<\infty$。

第二项为因果序列 ，其收敛域 R X − < ∣ z ∣ ≤ ∞ , R X − 是 第 二 项 最 小 的 收 敛 半 径 R_{X-}< |z|≤\infty,R_{X-}是第二项最小的收敛半径 RX−​<<