多普勒频移测速与FMCW测距

该博客是在学习利用FMCW原理进行声源信号追踪过程中的学习笔记。

参考论文

• CAT: High-Precision Acoustic Motion Tracking
• Vernier: Accurate and Fast Acoustic Motion Tracking Using Mobile Devices
• MilliSonic: Pushing the Limits of Acoustic Motion Tracking
• Turning a Mobile Device into a Mouse in the Air

相关部分已经更新到另一篇博客:点击链接

时域与频域

时域 — 自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号振幅的变化。表示振幅随时间的变化。

频域 — 自变量是频率,即横轴是频率,纵轴是该频率信号幅度的峰值。表示振幅峰值随频率的变化。

基于多普勒频移估计速度

当发送端静止而接收端相对运动时，有：

• $$v=\frac{F^s}{F}c$$

其中，F是信号的原始频率；$F^s$ 是接收信号频率与发送信号频率之差，即多普勒频移；c是声波的传播速度；v是接收源相对发送源的移动速度。

因此，通过测量 $F_s$ ,我们就能估计接收端的速度 v 了，这时我们使用STFT（短时傅里叶变换）获得 $F_s$

短时傅里叶变换：采用滑动窗口机制，设定窗口（窗函数，例如汉宁窗）大小和步长，让窗口在时域信号上滑动，分别计算每个窗口的傅立叶变换，形成了不同时间窗口对应的频域信号，拼接起来就成为了频率随时间变化的数据（时频信号）。加窗在时域上表现的是点乘，因此在频域上则表现为卷积。

计算得到的速度的误差由公式 $F^{=}\frac{F_s}{L_w}$ 决定，其中：$L_w$ 是窗口的长度，$F_s$ 是采样率

基于传统的FMCW测距

什么是FMCW

每个 FMCW 都是由若干个相同的 chirp组成，每个 chirp 是一组声波频率按固定斜率变化的声波，如下图：

每个chirp周期内，频率线性地从fmin增加到fmax，频率$f(t)=f_{min}+\frac{Bt}{T}$，其中B为信号的带宽（$B=f_{max}-f_{min}$），T为信号的周期

将若干个 chirp 连接在一起就是 FMCW，如下图：

因为 FMCW 信号是由多个 Chirp 信号组合而成的周期信号，所以FMCW 的频率为：

• $$f(t)=f_{min}+\frac{B}{T}(t-nT)$$

FMCW测距原理

根据频率是相位的微分，相位是频率的积分，又每个chirp的频率为：$f(t)=f_{min}+\frac{Bt}{T}$

对频率按时间积分可得相应的相位：$$u(t)=2\pi (f_{min}t+B\frac{t^2}{2T})$$

在第n次扫描期间（即第n个chirp）传输的信号为：$v_t(t^{\prime })=cos(2\pi f_{min}{t}^{\prime }+\frac{\pi B{t}^{\prime 2}}{T})$，其中t’=t-nT

FMCW波在延迟$t_d$时间后传播到接收端，接收到的信号会衰减： $$v_r(t^{\prime })=\alpha cos(2\pi f_{min}(t^{\prime }-t_d)+\frac{\pi B(t^{\prime }-t_d{)}^2}{T})$$，其中 α为衰减系数

接收方将收到的信号和发送的信号混合，$$v_m(t)=v_r(t)v_t(t)$$；利用cos A cos B =