13、实数的集合论表示与性质

实数的集合论表示与性质

在数学领域中，有理数和实数的精确表示是一个基础且重要的课题。我们可以在集合论中像表示自然数一样，忠实表示有理数和实数。这意味着我们要找出这些数系的一些集合论特征性质，并从ZDC公理出发，证明具有这些性质的结构化集合的存在性和唯一性（直至同构）。

1. 基本概念与定义

• 商集与决定满射 ：对于集合A上的等价关系∼，决定满射是指满足对于所有x, y ∈ A，x ∼ y ⇔ (x) = (y) 的满射 : A → B。此时，B被称为A关于∼的商集。规范的决定满射是 x ↦ [x/∼]，其商集是等价类的集合 [[A/∼]]，但可能还有其他更具启发性的决定满射。
• 同余关系 ：设∼是集合A上的等价关系，f : A × A → A 是二元函数。若对于所有 x, x′, y, y′ ∈ A，x ∼ x′ 且 y ∼ y′ 能推出 f(x, y) ∼ f(x′, y′)，则称∼是 f 的同余关系。类似地，对于二元关系 P ⊆ A × A，若满足相应条件，也可称∼是 P 的同余关系。

下面的定理是一个简单而基础的代数构造：
- 定理A.2 ：设 : A → B 是某个等价关系∼的决定满射。
- 若∼是函数 f : A × A → A 的同余关系，则在商集 B 上存在唯一的函数 f : B × B → B，使得图A.1中的图表可交换，即 f((x), (y)) = (f(x, y))。
- 若∼是关系 P ⊆ A × A 的同余关系，则在商集 B 上存在唯一的关系 P ⊆ B × B，使