基于RLT的肾交换优化模型

Article线性化重构技术方法在肾脏交换项目信息技术医疗平台中的应用

1. 引言

肾移植对于许多终末期肾病患者至关重要。然而，由于捐赠者与其预期受者之间存在血液或组织不相容性，找到相容的肾脏可能十分困难。通过建立肾交换项目（KEP），可以克服这种不相容性问题。首个此类项目于1991年在韩国[1–3]实施，此后已在包括美利坚合众国[4–9],、英国[10–12]和澳大利亚[13]在内的许多国家广泛开展。肾交换项目可帮助潜在的活体捐赠者将其与预期受者不相容的肾脏捐献给另一位受者，从而使该捐赠者的原定受者也能从其他捐赠者处获得一个相容的肾脏。负责在韩国统一管理疾病预防并提升公共卫生福利的政府机构——韩国疾病管理厅（KCDC）——近期关注到肾交换项目在增加能够接受肾移植的肾病患者数量方面的贡献。KCDC已积极推进一项计划，旨在开发一个集成的肾交换项目信息技术医疗平台。在该平台上，医院可以注册其肾病患者用于验证相容性的关键信息。随后，所提出的肾交换项目平台将提供匹配方案，以最大化项目中可能的肾交换数量。

因此，建立一个高效的优化模型，能够在合理时间内为肾交换项目提供优化的肾交换方案显得尤为重要。本文旨在提供一种高性能的数学规划模型，该模型可由商业优化求解器（例如CPLEX、GUROBI）轻松求解，以支持韩国集成的肾交换项目信息技术医疗平台。需要指出的是，正如本案例所示，运筹学（OR）技术已被应用于解决医疗保健领域中许多重要且具有挑战性的优化问题（例如，[14]为相关综述）。

图1说明了双向和三向KEPs。图1a 描述了一个仅包含两个供者‐受者配对的情况。在每个配对中，患者与供体不相容。然而，配对1中的患者与配对2中的供体相容，配对2中的患者与配对1中的供体相容。我们注意到，在早期，当不允许配对之间的交换时，无法进行移植。但是通过KEP，配对之间的交换成为可能，可以实施这两例移植。正如我们将在下文详细解释的，KEP可以用有向图表示，其中每个节点对应一个不相容的供者‐受者配对，如果初始节点中的供体与弧线终止节点中的受体相容，则引入一条有向弧（见图 1a）。在实践中，三向交换是执行中最复杂的交换形式，因为交换环中的所有手术必须同时进行，以避免某个供体反悔的风险，而在医院中同时为超过六名患者预留手术室在技术上非常困难。图 1b 说明了三向肾交换。

正如我们之前简要提到的，KEP模型可以用一个有向图G(V, A)表示，本文中称为肾交换项目图，其中V和A分别表示图G的顶点集和弧集。图2展示了一个G的示例以及该模型的一个解（即KEP图上可能的肾脏交换）。在图2a中，顶点i ∈V对应于一个当前不相容配对，包括患者i和供体i，而弧(i, j) ∈A表示供体i与患者j之间的相容性，这意味着供体i可以将其肾脏提供给患者j。图2b展示了一个可行解的示例。粗箭头表示配对1、2和4之间的交换环。

我们现在讨论给定KEP图G的肾交换问题（KEP）的优化问题。KEP优化的目标通常是最大化候选池中可能的肾交换数量，KEP可以被数学建模为一个整数规划问题，

Roth 等人 [17]提出了用于KEPs的边分配模型和环式模型，Abraham 等人 [7]为这些模型开发了求解算法。此外，Constantino 等人 [18]提出了两种紧凑型公式——即边分配（EA）模型和扩展边（EE）模型。Manlove 和 O’Malley [19]阐述了Roth 等人提出的环式模型 [17]如何被扩展以用于寻找英国KEP的最优解，这些解与英国国家活体捐献者肾脏共享计划（NLDKSS）相兼容。

我们打算在本文中使用的重构‐线性化技术（RLT）是一种可用于生成离散优化问题的紧致线性规划（LP）松弛的方法。RLT能够为多个类别的结构化问题生成各种强模型。Sherali 等人[20]通过将RLT应用于米勒‐塔克‐泽姆林（MTZ）模型，为旅行商问题（TSP）开发了一种新的整数规划模型。此外，他们证明了所得到的模型优于Desrochers和Laporte[21]提出的提升的MTZ模型。Sherali 等人[22]将RLT应用于基于路径的TSP模型，并结合逻辑约束，提出了多种TSP的新模型，并探讨了它们之间的若干支配关系。Park 等人[23]研究了源自电信网络接入网络设计的两级设施选址分配问题，为此问题建立了一个混合整数规划，并应用RLT以提高计算有效性。

本文中，我们关注文献中已知最优的KEP紧凑型公式，即Constantino等人提出的EA和EE模型 [18]。我们首先通过对EA模型应用部分一级RLT推导出EE模型。随后，我们进一步通过一级RLT加强该模型，并提出一个优于现有模型的新整数规划模型。提供的计算结果表明，与以往模型相比，我们提出的模型具有更高的有效性。因此，本研究的贡献可总结如下。

我们提出了一种新的整数规划模型，通过计算实验验证，该模型比以往的优化模型更加紧凑且有效。尽管我们的新模型所得到的解决方案仅比现有公式化方法的匹配结果多使一名患者获得肾移植，但这一结果具有重要意义，因为肾移植直接关系到患者宝贵的生命。此外，我们提出的模型将直接影响 KEP医疗保健IT平台的性能。

•我们通过应用系统化的方法RLT，从EA模型导出了EE模型。正如Constantino等人所提出的[18], ，建立更紧凑的整数规划模型需要利用问题本身固有的特殊结构。另一方面，通过使用我们的方法，可以通过简单且系统的RLT应用独立于问题特定结构来推导出这样的模型。这一差异表明，我们的方法有可能应用于其他现实世界的优化问题，以获得更具优势的模型。

本文组织如下：第2节简要介绍RLT以供参考。第3节回顾文献中KEP的两个代表性整数规划模型（即EE 和 EA 公式）。第4节介绍如何通过应用RLT从EA模型推导出EE模型，以及如何进一步加强 EE模型。第5节展示计算结果。最后，我们在第6节中总结讨论。

2. 线性化重构技术

在本节中，我们简要描述了零一整数问题背景下RLT过程的概念。让我们将零一整数问题的可行域定义为
X={x: Ax ≤ b, x ∈ Br}
其中A是一个q × r矩阵，b是一个q维向量，且N={1, 2,…r}是所有变量的索引集。不失一般性，
我们假设A和b的每个分量均为整数。此外，这些不等式包含了对于xj ≤ 1（j ∈ N）的上界约束。通常情况下， B和 R分别表示二进制数集和实数集。

谢拉利和亚当斯的RLT过程[24]用于在高维空间中构造任意层级Xd的松弛，其中d ∈{1,…，r}，
包含以下两个步骤： 步骤1。 （重新表述）将定义可行域的每个约束与形式为 ∏i∈J1 xi∏i∈J2（1 −xi） 的每个乘积因子相乘，其中 J1, J2 ⊆N，J1 ∩J2= ∅，且 | J1 ∪J2 | = d，然后对所有 i ∈ N 应用恒等式 x2i= xi。步骤2。
（线性化）通过对每一个不同的乘积项 ∏i∈J xi 引入变量 λJ 来对得到的多项式系统进行线性化，其中 J ⊆ N。

谢拉利和亚当斯[24]的结果表明，通过将Xd在原始变量x空间上的投影记为XPd={x：（x， λ） ∈ Xd}，我们得到了松弛层次结构
XP0 ≡ X0 ⊇ XP1 ⊇ XP2 ⊇ · · · ⊇ XPr ≡ conv(X)
其中XP0 ≡ X0表示X的线性规划松弛。上述结果意味着，理论上我们可以通过r层RLT获得可行解集 X的凸包，从而通过求解XPr上的线性规划问题得到最优解。

为了更好地理解，我们通过以下示例 [25 来说明 RLT 过程 ].

示例 1. 考虑以下多面体：
X={x ∈ R 2: 2x1+ 3x2 ≤ 4, xj ∈{0, 1}, j= 1, 2}.
该多面体的线性规划表示为 X0={x ∈R 2: 2x1+ 3x2 ≤ 4, 0 ≤x1 ≤ 1, 0 ≤x2 ≤ 1}，X 的凸包表示为 conv(X) ={x ∈R 2: x1+x2 ≤ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}（见图3）。

及其凸包 conv（X） (右) 的示意图。)

现在，我们将2级RLT应用于X0，以说明如何通过RLT过程获得conv(X) s.
步骤1。 （重新表述）将X0的每个约束分别乘以因子x1x2, x1（1 −x2）、（1 −x1）x2,以及（1−x1）（1−x2）。该过程会产生多个重复或冗余的不等式；因此，我们仅总结如下有效不等式：
(2x1+ 3x2 ≤ 4)× x1x2 → 2x1x2+ 3x1x2 ≤ 4x1x2
↪→ x1x2 ≤ 0
(2x1+ 3x2 ≤ 4)×(1−x1)(1−x2) → 0 ≤ 4(1−x1)(1−x2)
↪→ x1+ x2 ≤ 1+ x1x2
(x1 ≥ 0)× x1x2 → x1x2 ≥ 0
(x1 ≥ 0)× x1(1−x2) → x1 −x1x2 ≥ 0
(x2 ≥ 0)×(1−x1)x2 → x2 −x1x2 ≥ 0
步骤2. （线性化）在通过为乘积项 x1x2,引入变量 z12来对得到的多项式系统进行线性化之后，我们有
z12 ≤ 0
x1+ x2 ≤ 1+ z12
z12 ≥ 0 x1 −z12 ≥ 0 x2 −z12 ≥ 0
由 z12 ≤ 0 和 z12 ≥ 0 可得 z12= 0。因此，最后一组不等式产生
{x ∈ R2: x1+ x2 ≤ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}
这是conv(X)。

3. KEP的两个代表性模型：EA和EE公式

在本节中，我们介绍了两种紧凑型公式，即EA和EE公式，这些公式由Constantino等人提出作为参考模型。在这些模型中，[18]考虑将G和L中可能的环定义为由索引组成的集合{1,…, lu}，其中lu表示G中可能存在的环数量的上限。模型中使用的附加参数和决策变量如下所示：
参数
wij：边 （i,j） ∈A 的权重，表示供体 i 与受体 j 之间的相容性水平。k：最大循环长度。
决策变量
xij：如果肾脏从供体i移植给患者j，则为1，否则为0。y l i：如果节点i包含 在循环l中，则为1，否则为0。

然后，EA模型如下所示：
EA: Maximize ∑
(i, j)∈A wij xij (1a)
subject to ∑
j:(j, i)∈A
xji= ∑
j:(i, j)∈A
xij, ∀i ∈ V (1b)
∑
j:(i, j)∈A
xij ≤ 1, ∀i ∈ V (1c)
∑
i∈V
yil ≤ k, ∀l ∈ L (1d)
∑
l∈L
yil= ∑
j:(i, j)∈A
xij, ∀i ∈ V (1e)
yl i+ xij ≤ 1+ yl j, ∀(i, j) ∈ A, ∀l ∈ L (1f)
xij ∈{0, 1}, ∀(i, j) ∈ A (1g)
yl i ∈{0, 1}, ∀i ∈ V, l ∈ L (1h)
方程 (1a) 的目标函数旨在最大化移植权重的总和。由于每条边的权重表示相应移植的适宜程度，因此计划通过 KEP 最大化所有移植的总体适宜性。我们注意到，对所有 (i,j) ∈ A 将 wij 设置为相同的值，可以得到给定候选池中可能的最大肾脏交换数量。约束条件(1b) 表示，如果配对 i 中的供体将其肾脏捐献给另一个配对中的患者，则配对 i 中的患者必须接收到一个肾脏。此约束还进一步意味着，如果供体不参与移植，则其配对的患者也不会接收到肾脏。约束条件(1c) 表示一个供体不能捐献超过一个肾脏。约束(1d) 确保每个循环的长度不能大于 k。约束 (1e) 将参与肾脏交换的配对分配到某个循环中。我们注意到，由于 ∑j:(i,j)∈A xij ≤ 1，每个配对必须被分配到其中一个循环中。约束条件(1f) 表示，如果配对 i 中的供体将其肾脏捐献给配对 j 中的患者，并且配对 i 被分配到循环 l，则配对 j 也必须包含在循环 l 中。约束 (1g)和 (1h) 表明模型中的所有决策变量均为二进制变量。

我们现在提出EE模型。假设有若干个图G的副本，令每个副本的索引为l ∈ L，其中L是图G副本的集合。然后，EE模型需要引入额外的决策变量xl ij，如下所示：
决策变量
xl ij ：如果在副本l中肾脏从供者i移植给患者j，则为1，否则为0。
然后，EE模型如下所示：
EE: Maximize ∑
l∈L
∑
(i, j)∈A
wij x l ij (2a)
Subject to ∑
j:(j, i)∈A xl ji= ∑
j:(i, j)∈A xl ij
, ∀i ∈ V, ∀l ∈ L (2b)
∑
l∈L
∑
j:(i, j)∈A xl ij ≤ 1, ∀i ∈ V (2c)
∑
(i,j)∈A xl ij ≤ k, ∀l ∈ L (2d)
xij ∈{0, 1}, ∀(i, j) ∈ A (2e)
目标函数 公式(2a) 表示该模型在所有G副本之间的弧上最大化总权重。约束条件(2b) 确保在每对 i中，供体i给出的肾脏数量与患者i接收的肾脏数量在每个副本l中相同。约束条件(2c) 表示一对每人最多捐赠或接受一个肾脏。我们注意到该约束适用于l ∈ L的所有副本，并且一条弧不能在G的两个以上副本中被选中。2d）约束交换环的长度不超过k。

此外，为了进一步简化模型，应用了Constantino等人[18]讨论的对称性消除约束：
yil ≤ yll, ∀i ∈ V, l ∈ L, i> l (3)
对于EA模型，以及
∑
j:(i, j)∈A
xilj ≤ ∑
j:(l, j)∈A
xllj, ∀i> l
对于EE模型，这些不等式强制节点l位于循环l中，并强制该循环中的所有其他节点的索引大于l。更多细节请参见Constantino等人的研究[18]。

4. RLT应用

在本节中，我们将介绍RLT在两个现有紧凑型公式（即EA和EE模型）中的应用。我们首先证明，通过对EA模型系统性地应用RLT，可以在不依赖任何问题特定结构或洞察的情况下推导出EE模型。在此基础上，我们通过进一步对EE模型应用RLT，推导出一个优于EE模型的新紧凑型公式。

4.1. 从EA模型推导出EE模型

我们现在通过遵循谢拉利和亚当斯[24,26]的讨论，将RLT的一种特殊版本应用于企业架构模型。为了控制所得松弛的规模，我们仅应用该方法的部分一级版本。我们的方法是首先通过对EA模型进行重构，生成额外的（非线性）隐含约束。通过应用线性化，用变量替代每个不同的非线性项，我们可以揭示新变量与原始变量之间有用的关系，以实现对非线性关系的约束。具体而言，我们执行以下操作：
•重构阶段。 通过以下所述的(R1)–(R5)构建额外的约束集。
(R1) 与约束(1f)类似，构造以下有效不等式：
y
l j + xij ≤ 1+ y l
j) ≤ 0 for(i, j) ∈ A, l ∈ L and xij(y l j + xij −1−y l i) ≤ 0 for(i, j) ∈ A, l ∈ L.
（R2）对于每个 i ∈ V，将 约束 （（j,i）∈A xji= ∑j:（i, j）∈A x ij 的方程）乘以 约束 （1b）中的 y l
i ≥ 0，其中 i ∈ V, l ∈ L。
(R3) 对于每个 i ∈ V，将约束条件(1c)中的不等式 ∑j:(i, j)∈A xij ≤ 1 乘以 y l
i ≥ 0，其中 i ∈
V，l ∈ L。(R4) 由约束条件(1c)和(1e)可推导出 ∑l∈L y l
i ≤ 1，其中 i ∈V。对于每个 i ∈V，将 ∑l∈L y l i ≤ 1 和 ∑l∈L y l i =∑ j :(i, j)∈A x i j 分别乘以 y l ′ i，其中 i ∈V，l′ ∈L。
（R5）对于每个 i ∈V，将约束条件(1c)中 ∑j:(i, j)∈A xij ≤ 1 的不等式乘以每个 (i, j′) ∈A 对应的 xij′ ；对于每个 i ∈V，将方程 ∑l∈L y il=∑j:(i, j)∈A x ij 乘以每个 (i, j′) ∈ A 对应的 xij′。
•线性化阶段。 利用替换方法对上述由(R1)–(R5)生成的新类别约束进行线性化
uilj= yilxij and vilj= yl j xij ∀(i, j) ∈ A, ∀l ∈ L.
重构步骤 (R1) 生成 uilj ≤vilj，其中 (i, j) ∈A，l ∈ L，以及 vilj ≤ uilj，其中 (i, j) ∈A，l ∈ L。
因此，我们得到 uilj= vilj，其中 (i, j) ∈ A，l ∈ L，并且我们仅使用 u 变量进行线性化。步骤 (R2)
产生 ∑j:(j, i)∈A ul ji= ∑j:(i, j)∈A ul ij，其中 i ∈V，l ∈ L。步骤 (R3) 给出 ∑j:(i, j)∈A ul ij ≤yl i，其中
i ∈V，l ∈ L，并对每个 l ∈ L 进行替代，结果为 ∑l∈L∑j:(i, j)∈A ul ij ≤∑l∈L y l i，其中 i ∈V。根据
约束条件(1c)和(1e)，我们有 ∑l∈L∑j:(i, j)∈A ul ij ≤ 1，其中 i ∈V。重构步骤 (R4) 生成 yl′ i +∑l(6=l′)
∈L yl iy l′ i ≤yl′ i，其中 i ∈V，这导致 ∑l(6=l′)∈L yl iy l′ i = 0。因此，∑l∈L y l 对每个 i ∈V，l′ ∈ L，得到 yl i=∑j:(i, j)∈A ul ij，其中 i ∈V，l ∈ L（为方便起见，将 l′ 替换为 l）。
接下来，对每个 i ∈ V 将 yl i= ∑j:(i, j)∈A ul ij 进行替代，得到 ∑i∈Vyl i= ∑(i, j)∈A ul ij，其中 l ∈
L。因此，根据约束(1d)，我们有 ∑(i, j)∈A ul ij ≤ k，其中 l ∈ L。根据步骤 (R5) 的第一条陈述以及 (i, j) ∈A 时的 xij ≥ 0，我们可以得到 ∑j6=j′: (i, j)∈A x ijxij′= 0，其中 i ∈V。下一条陈述结合第一个结果可得 xij=∑l∈Lu l
A wijul ij。于是，在用 ul ij 替代 xl ij 后，RLT 应用构造出 EE 模型。我们再次强调，上述过程不依赖于任何问题特定的结构或洞察，但它们从 EA 模型推导出了相同的紧凑模型，即 EE 模型。

4.2. 基于EE模型的扩展公式

在本小节中，我们通过应用RLT并在保持y变量的同时进一步加强了EE模型。下面详细解释我们执行的具体RLT程序。
•重构阶段。通过下面所述的(R6)–(R9)构建额外的约束集。
(R6) 对于每个 i ∈ V，将约束条件(1c)中的不等式 ∑j:(i, j)∈A xij ≤ 1 乘以 yl i ≥ 0，其中 i ∈
V，l ∈ L。(R7) 对于每个 (i, j) ∈ A 和 l ∈ L，将约束条件(1f)中的不等式 yl i+ xij ≤ 1+ yl j
分别乘以 yl i ≥ 0 和 yl j 。类似地，对于每个 (i, j) ∈ A 和 l ∈ L，将不等式 yl j + xij ≤ 1+ yl i 乘
以 yl i ≥ 0。(R8) 对于每个 l ∈ L，将约束(1d)中的不等式 ∑i∈Vy l j ≥ 0，其中 j ∈
V。(R9) 对于每个 i ∈ V，l ∈ L，i > l，将对称性消除约束(3)中的不等式 yl i ≤yl l 分别乘以
yl i ≥ 0、yl l ≥ 0 和 yl j ≥ 0，其中 j ∈ V。
•线性化阶段。 通过使用替换来线性化上述由(R6)–(R9)生成的新类别约束
xl ij = y l i xij = y l j xij ∀(i, j) ∈ A, ∀l ∈ L and zl (ij) = y l
iy
l j ∀i, j ∈ V, ∀l ∈ L.
重新表述步骤 (R6) 产生 ∑j :(i, j)∈A xl j ≤y l i ，其中 i ∈V, l ∈ L。步骤 (R7) 给出三类有效不等
式 xl i j ≤ zl (ij) 、zl (ij) +x l i j ≤ 2y l j 和 zl (ij) + xl i j ≤ 2y l i ，其中 (i, j) ∈A, l ∈ L。步骤 (R8)
生成 ∑j(6=i)∈V zl (ij) ≤(k −1)yil，其中 i ∈ V, l ∈ L。最后一步 (R9) 产生 yil ≤zill ≤yll，其中i ∈
V, l ∈ L，以及 zl (ij) ≤ zl jl，其中 i, j ∈ V, l ∈ L。
我们总结了上述整体RLT过程，以从图4中的EE模型推导出一个新的紧凑模型。通过将上述生成的有效不等式增强到EE和EA模型的某些约束集上，我们为KEP推导出一个新整数规划模型，该模型比EE模型更紧凑且更紧密，如下所示：
RLT: Maximize ∑
l∈L
∑
(i, j)∈A
wij x ilj (5a)
约束条件 (2b),(2c),(2d),(2e),(1h)
∑
j:(i, j)∈A
xilj ≤ yil, ∀i ∈ V, l ∈ L (5b)
xl ij ≤ zl (ij), ∀(i, j) ∈ A, l ∈ L (5c)
zl (ij)+ xl ij ≤ 2yl j, ∀(i, j) ∈ A, l ∈ L (5d)
zl (ij)+ xl ij ≤ 2yl i, ∀(i, j) ∈ A, l ∈ L (5e)
∑
j(6=i)∈V zl (ij) ≤(k −1)yl i, ∀i ∈ V, l ∈ L (5f)
yl i ≤ zl il ≤ yl l, ∀i ∈ V, l ∈ L (5g)
zl (ij) ≤ zl jl, ∀i, j ∈ V, l ∈ L (5h)
zl (ij) ∈{0, 1}, ∀i, j ∈ V, l ∈ L. (5i)
z ij l ≡y i l × y j l
线性化 产生的有效不等式 重新表述
y i l + x ij ≤ 1+ y j l × y i l
i∈V
y i l ≤k × y j l
y i l ≤y l l × y i l
j: i,j ∈A
x ij ≤ 1 × y i l
y i l + x ij ≤1+ y j l × y j l
y j l + x ij ≤1+ y i l × y i l
y i l ≤y l l × y j l
y i l ≤y l l ×y l l
x ij l ≤z ij l, ∀ i, j ∈ A, l ∈ L
z ij l + x ij l ≤2y j l, ∀ i, j ∈ A, l ∈ L
z ij l + x ij l ≤2y i l, ∀ i, j ∈ A, l ∈ L
j ≠i ∈V
z ij l ≤ k − 1 y i l, ∀i ∈ V, l ∈ L
y i l ≤z il l ≤y l l, ∀i ∈ V, l ∈ L
j: i,j ∈A
x ij l ≤y i l, ∀i ∈ V, l ∈ L
z
( ij )
l
≤ z jl l, ∀ i, j ∈ V, l ∈ L
z ij l = z ij l, i< j
z ji l, i> j

5. 计算结果

在本节中，我们展示了KEP的计算实验结果。实验使用Intel(R) Core(TM)i7‐4770 CPU @ 3.40 GHz和CPLEX 12.4作为线性规划/混合整数规划（混合整数规划）优化求解器进行。实验旨在比较 EA、EE和RLT模型在性能方面的表现。问题实例由 Constantino 等人[18]构建。使用了一个随机生成器来创建具有特定弧密度的随机 KEP 图。具体而言，在图的节点邻接矩阵的每个位置上，使用概率p来确定该元素是等于 1 还是 0。Constantino 等人[18]使用的概率p值为 0.2、0.5 和 0.7。然而，研究发现，当概率为 0.5 和 0.7 时，几乎所有实例的最优目标n都等于节点数量。由于n是这些 KEP 问题的平凡上界，因此任何模型都无法改进此类问题实例的线性松弛界。因此，鉴于本文的一个重要目标是比较 KEP 模型的紧密程度，针对低、中、高密度实例，将p分别设置为 0.1、0.2 和 0.5。对于每种密度，我们使用输入参数k= 3、4、5、6 生成了问题实例。此外，对于每个n（即配对数量），进一步设定为 10、20 和 30，对应每个k。对于每个n和k，生成并测试了 10 个实例。所有情况均在 3600 秒时间限制内执行。通过最优间隙 (GAP) 和执行时间对模型进行了比较。GAP 的计算公式为（ZLP −ZIP）/ZIP，其中ZIP为整数规划模型的最佳目标函数值，ZLP为相应线性规划松弛的最优目标函数值。因此，获得的 GAP 越低，解越好（即越接近最优解）。另一方面，TIP和TLP分别为整数规划模型及其线性规划松弛的平均耗时。

表1。 低密度实例的计算结果。EA：边分配；EE：扩展边；RLT：线性化重构技术；GAP：最优性间隙。

问题实例	EA			EE			RLT
	TLP	TIP	GAP	TLP	TIP	GAP	TLP	TIP	GAP
k = 3 n = 10	0.00	0.00	10.7%	0.00	0.00	8.7%	0.00	0.01	6.7%
n = 20	0.00	0.01	87.5%	0.00	0.00	68.2%	0.29	0.11	83.9%
n = 30	0.02	0.53	98.1%	0.01	0.01	84.2%	0.29	0.11	83.9%
k = 4 n = 10	0.00	0.00	4.3%	0.00	0.00	3.3%	0.00	0.00	3.0%
n = 20	0.00	0.01	45.1%	0.00	0.00	39.0%	0.00	0.00	38.1%
n = 30	0.02	1.68	37.3%	0.01	0.02	33.2%	0.22	0.05	33.1%
k = 5 n = 10	0.00	0.00	4.7%	0.00	0.00	4.2%	0.00	0.00	3.8%
n = 20	0.00	0.01	17.9%	0.00	0.01	14.8%	0.02	0.03	14.1%
n = 30	0.02	0.76	18.0%	0.01	0.07	15.9%	0.34	0.10	14.9%
k = 6 n = 10	0.00	0.00	0.0%	0.00	0.00	0.0%	0.00	0.00	0.0%
n = 20	0.00	0.01	10.5%	0.00	0.01	9.6%	0.02	0.04	9.5%
n = 30	0.01	0.59	10.9%	0.01	0.12	9.6%	0.59	0.27	9.6%

表 1总结了低密度实例的计算结果。EE模型在120个低密度实例中，为其中43个找到了最优上界。对于其余77个EE模型未能找到最优解的实例，我们的RLT模型改进了36个实例的上界。随后，RLT 模型的GAP平均值也得到了改善。另一方面，随着k的增大，RLT模型在GAP上的改进趋于减小。

图5展示了每种模型在不同 组合的问题实例下产生的GAPs (%)的箱线图。从图中可以看出，我们的RLT模型产生的平均差距最低，而且由RLT模型产生的差距变异性也低于已知最优的紧凑公式。具体而言，无论是最大值和最小值，还是下四分位数与上四分位数之间的差值，均从EA模型到EE模型显著下降，再进一步从EE模型到RLT模型继续下降。此外，这些观察结果在每一组 组合中均保持一致。结果表明，EA模型在很大程度上被EE模型和RLT模型所超越，而且就解的质量——即我们的方法在不牺牲计算时间的情况下，比已知最优的紧凑公式产生了更可靠、质量更高的解。

表2. 中等密度实例的计算结果。

问题实例	EA			EE			RLT
	TLP	TIP	GAP	TLP	TIP	GAP	TLP	TIP	GAP
k = 3 n = 10	0.00	0.00	22.0%	0.00	0.00	16.2%	0.00	0.00	16.0%
n = 20	0.01	0.95	22.2%	0.00	0.01	20.8%	0.05	0.07	20.5%
n = 30	0.03	238.11	7.1%	0.03	0.09	7.0%	0.05	0.12	6.9%
k = 4 n = 10	0.00	0.00	9.7%	0.00	0.02	6.3%	0.00	0.01	5.1%
n = 20	0.01	0.41	6.2%	0.00	0.06	6.0%	0.53	0.41	6.0%
n = 30	0.02	100.95	0.0%	0.03	0.93	0.0%	0.68	1.55	0.0%
k = 5 n = 10	0.00	0.00	7.8%	0.00	0.00	5.7%	0.00	0.01	3.8%
n = 20	0.01	0.22	2.9%	0.00	0.07	2.9%	0.40	0.58	2.9%
n = 30	0.02	12.55	0.0%	0.02	0.38	0.0%	0.29	0.67	0.0%
k = 6 n = 10	0.00	0.00	6.3%	0.00	0.00	5.5%	0.00	0.01	4.8%
n = 20	0.01	0.11	1.1%	0.00	0.07	1.1%	0.27	0.76	1.1%
n = 30	0.02	3.91	0.0%	0.03	0.25	0.0%	0.19	0.42	0.0%

类似地，表2展示了中等密度实例的计算结果。根据结果，所有模型的平均最优性间隙均小于低密度实例的情况。这一结果是直观的，因为中等密度图具有更多表示相容性的弧，因此相比低密度情况更容易找到可行解。在实验中，EE模型在120个实例中为83个找到了最优上界。我们的RLT模型改进了其余37个实例中未由EE模型获得最优解的那些实例的上界。关于中等密度问题实例的GAPs箱线图，我们能够得出与图6中所示低密度实例类似的观察结果。如前所述，与低密度情况相比，存在更多的（n， k）组合使得所有问题实例的GAP均为零（即图6中的(j)、(k)和(l)）。

最后，高密度实例的计算结果如表3所示。我们观察到，所有模型在所有实例上的GAP均为0；因此，此处我们仅从计算时间角度进行比较。如表3所示，在计算时间方面，RLT模型优于EA模型，但 EE模型的表现略优于RLT模型。然而，这两种情况对于实际规模的问题都是可以接受的。需要指出的是，高密度实例在现实情况中很少出现，因为在给定的候选池中，供体i很难找到与之兼容的如此多的患者。

表3. 高密度实例的计算结果。

问题实例	EA			EE			RLT
	TLP	TIP	GAP	TLP	TIP	GAP	TLP	TIP	GAP
k = 3 n = 10	0.00	0.02	0.0%	0.00	0.01	0.0%	0.02	0.03	0.0%
n = 20	0.01	1.20	0.0%	0.01	0.14	0.0%	0.96	0.31	0.0%
n = 30	0.03	57.15	0.0%	0.03	0.71	0.0%	0.86	1.87	0.0%
k = 4 n = 10	0.00	0.03	0.0%	0.00	0.01	0.0%	0.01	0.03	0.0%
n = 20	0.01	0.32	0.0%	0.01	0.09	0.0%	0.68	0.49	0.0%
n = 30	0.03	35.29	0.0%	0.04	0.43	0.0%	0.82	0.99	0.0%
k = 5 n = 10	0.00	0.01	0.0%	0.00	0.01	0.0%	0.01	0.02	0.0%
n = 20	0.01	0.23	0.0%	0.01	0.08	0.0%	0.65	0.48	0.0%
n = 30	0.03	10.02	0.0%	0.04	0.29	0.0%	0.57	0.88	0.0%
k = 6 n = 10	0.00	0.01	0.0%	0.00	0.01	0.0%	0.01	0.02	0.0%
n = 20	0.01	0.17	0.0%	0.01	0.07	0.0%	0.51	0.46	0.0%
n = 30	0.02	2.53	0.0%	0.04	0.26	0.0%	1.04	0.82	0.0%

6. 结论

本文中，我们首次表明，迄今为止被认为是最紧凑的EE模型，可以通过RLT过程从EA模型系统地推导出来。以往的研究通过利用问题固有的特殊结构来构建EE模型。然而，我们证明了可以轻松地将RLT程序应用于EA模型，从而得到相同的EE模型。此外，我们将RLT应用于EA和EE模型，进而推导出一个更紧密且更紧凑的模型。计算结果表明，所提出的RLT模型在解的质量和计算时间方面均优于现有的EA和EE模型。具体而言，RLT模型在多个实例中提供了改进的GAPs对于低密度和中等密度图，EE模型在时间限制内无法找到最优解。对于高密度实例，尽管RLT模型并未显著减少执行时间，但它能够产生与现有公式化方法同样高质量的解。我们认为，鉴于所提出模型获得的结果，它可以应用于集成的KEP IT医疗保健平台以获得优化的KEP交换计划。

作为扩展研究，可以考虑从本文提出模型衍生出的多个模型。例如，首先，针对候选池中各配对之间在供者与受者年龄及健康状况方面的公平分配问题可能具有研究意义。实际上，Bertsimas等人 [27]以及Anderson[15]分别在文献中讨论了肾移植或肾交换中的某些公平性问题。其次，本研究的一些局限性包括所有数据（例如，wij）均被视为确定的。当实际实施KEP解决方案时，可能会发生多种意外事件，包括临终不相容以及供者或受者不可用[28,29]。为应对KEP中的数据或事件不确定性，Alvelos等人[29],例如，研究了一个优化问题，其目标是在KEP图中的所有边和顶点具有相等的失败概率的情况下，最大化预期移植数量，并且已有一些尝试将鲁棒优化理论[30,31]应用于KEP[28]。因此，我们可以扩展我们的模型以纳入上述不确定性，并考虑采用随机优化或鲁棒优化技术等求解方法。最后，提出一种高效的基于启发式的方法，以更普遍地解决超大规模问题，将是未来研究的主题。