16、波动方程推导与应用详解

波动方程推导与应用详解

1. 空气/液体中的波动方程推导

1.1 基本情况

推导空气或液体中波动方程比之前的情况更复杂，因为涉及三维介质。为简化推导，我们考虑平面纵波，这样位置变化仅需用一个空间维度（加上时间）来描述。推导过程是近似的，但希望能揭示空气和液体中波的两个主要机制：可压缩介质的力学性质和牛顿第二定律。

1.2 力学性质

空气和液体的重要特性是具有可压缩性，即一定量的气体或液体可被压缩至比初始体积更小。空气比液体更易压缩，液体比固体更易压缩。材料抵抗压力增加时体积变化的能力称为“体积压缩模量”，定义为：
[K = -\frac{dP}{dV/V}]
单位为帕斯卡（Pa），(1Pa = 1N/m^2)。

对于声波，假设压力变化和气体体积运动仅沿(x)方向。我们跟踪连续介质中一个任意圆柱形部分的运动，假设该圆柱与周围环境交换的分子可忽略不计，圆柱横截面(A)不变，但会沿(\pm x)方向移动并随时间改变长度（体积）。

1.3 声学近似

为推导波动方程，需建立位置、压力和体积之间的关系，并使用上述体积压缩模量的定义。但直接取(\Delta x = x_2 - x_1 \to 0)不被允许，因此需要进行“声学近似”，其特点如下：
- (\Delta x = x_2 - x_1)相对于空气分子在混沌运动中相互碰撞的平均自由程要大。
- (\Delta x)相对于声波波长要小。
- 位移(\eta)与(\Delta x)相比很小，意味着声音较弱。

在这些近似下，可得到压力和位移的关系：
[p = -K\frac{