10、常微分方程与偏微分方程数值解法详解

常微分方程与偏微分方程数值解法详解

1. 常微分方程计算时间比较

在常微分方程的求解中，我们对 ‘\’ 和 ‘ode45’ 两种方法的计算时间进行了比较，具体数据如下表所示：
| n | ‘\’ secs | ode45 secs | (ode45 secs) / ( ‘\’ secs) |
| — | — | — | — |
| 1000 | 0.004440 | 0.082446 | 18.5689 |
| 10000 | 0.024985 | 0.166036 | 6.6454 |
| 100000 | 0.687909 | 2.026475 | 2.9458 |

从这些数据可以看出，随着 n 的增大，‘ode45’ 与 ‘\’ 的计算时间比值逐渐减小，这意味着在大规模计算时，‘\’ 方法可能具有更好的效率。

2. 二阶常微分方程初值问题求解

考虑二阶常微分方程初值问题 (y’’ + y = 1)，(y(0) = 1)，(y’(0) = 1)，(x \in (0, 1))。我们可以将其转化为一个 6×6 的线性系统来求解。
由于系数函数 (p \equiv 0)，(q \equiv 1)，(g \equiv 1)，我们得到如下矩阵方程：
(\begin{bmatrix}
3 & 0 & -3 & 3 & -1 & 0 \
-3 & 3 & -1 & 0 & 0 & 3 \
1 & 0 & -3 & 3 & 1 & 0 \
-