23、分析力学中的哈密顿原理及相关方程

分析力学中的哈密顿原理及相关方程

在分析力学领域，哈密顿原理是一个强大且通用的定理，它在处理各种机械系统的运动问题时发挥着重要作用。下面将详细介绍哈密顿原理及其相关的动能计算、拉格朗日方程以及扩展原理等内容。

1. 刚体的动能计算

哈密顿原理适用于任何机械系统，在处理刚体系统时，刚体的动能计算是一个关键问题。

1.1 一般刚体的动能公式

设 $\mathfrak{B}$ 是一个固连于刚体的坐标系，其原点位于刚体的质心，刚体在坐标系 $\mathbb{X}$ 中运动。刚体的动能 $T$ 可表示为：
$T = \frac{1}{2}Mv_{\mathbb{X},c} \cdot v_{\mathbb{X},c} + \frac{1}{2}\omega_{\mathbb{X},\mathfrak{B}} \cdot I_c\omega_{\mathbb{X},\mathfrak{B}}$
其中，$v_{\mathbb{X},c}$ 是质心在坐标系 $\mathbb{X}$ 中的速度，$\omega_{\mathbb{X},\mathfrak{B}}$ 是坐标系 $\mathfrak{B}$ 相对于坐标系 $\mathbb{X}$ 的角速度，$I_c$ 是关于质心的惯性张量。

若选择某个坐标系 $\mathbb{Y}$ 的特定基，动能的显式形式可表示为：
$T = \frac{1}{2}\omega_{\mathbb{Y}}^{\mathbb{X},\mathfrak{B}} \cdot I_{\mathbb{Y}}^c \omega_{\mathbb{Y}}^{\mathbb{X},\mathfrak{B}}$