5、弹性力学基础方程与变分原理及Timoshenko梁理论

弹性力学基础方程与变分原理及Timoshenko梁理论

1. 弹性力学变分原理

1.1 最小总余能原理

对于处于平衡状态的弹性体，静力学上可接受的应力场 $\sigma_s$ 可表示为 $\sigma_s = \sigma + \delta\sigma$，其中 $\sigma$ 是实际应力场，$\delta\sigma$ 是虚拟应力。在指定力的边界 $\Gamma_{\sigma}$ 上，有 $\delta F_n = E(n)\delta\sigma = 0$。

基于此，可推导出：
$\int_{V} \varepsilon^T\delta\sigma dV - \int_{\Gamma_u} u^TE(n)\delta\sigma d\Gamma = 0$

由于在产生虚拟应力时位移不变，该式可写为 $\delta E_{pc}(\sigma) = \delta[V_c(\sigma) + E_c(\sigma)] = 0$，其中：
- $V_c(\sigma) = \int_{V} v_c(\sigma) dV$ 为应变余能
- $E_c(\sigma) = -\int_{\Gamma_u} u^TE(n)\sigma d\Gamma$ 为支座位移余能
- $E_{pc}$ 是应力的泛函，为弹性体的总余能

进一步分析可得 $E_{pc}(\sigma + \delta\sigma) = E_{pc}(\sigma) + V_c(\delta\sigma) \geq E_{pc}(\sigma)$，这表明实际解对应最小余能。即对于所有可接受的应力场，弹性系统的实际应力场对应弹性体的最小总余能，最