28、机器人运动建模与控制及DELTA机器人正运动学串行求解方法

机器人运动建模与控制及DELTA机器人正运动学串行求解方法

1. 8自由度冗余机器人平台的运动与控制

在机器人领域，一款具有创新性的8自由度（DoF）冗余机器人平台被提出，它结合了7自由度协作机器人和电动线性轴，有望应用于医疗领域，如多普勒超声检查。

1.1 运动学和动力学建模

对于所提出的8自由度机器人，任务空间维度 m = 6。非方阵雅可比矩阵 (J(q) \in \mathbb{R}^{m\times n}) 表示将关节空间速度向量 (\dot{q} \in \mathbb{R}^{n}) 映射到任务空间速度向量 (\dot{x} \in \mathbb{R}^{m}) 的变换矩阵，其关系为：
(\dot{x} = J(q) \cdot \dot{q})
由于该方程的逆不唯一，可定义 (J(q)) 的Moore - Penrose伪逆为 (J(q)^+ = (J^T J)^{-1} J^T)。

n自由度机器人的动力学方程可由惯性矩阵 (M(q) \in \mathbb{R}^{n\times n})、离心力和科里奥利矩阵 (C(q, \dot{q}) \in \mathbb{R}^{n\times n}) 以及重力扭矩向量 (g(q) \in \mathbb{R}^{n}) 表示：
(M(q) \ddot{q} + C(q, \dot{q}) \dot{q} + g(q) = \tau_c + \tau_{ext} + \tau_f)
其中，(\tau_{ext} \in \mathbb{R}^{n}) 表示作用在平台上的外部扭矩，(\tau_c \in \mathbb{R}^{n}) 和 (\tau_f \in \mathbb{R}^{n}) 分别表示输出关节扭矩向量和摩擦扭矩向量。

1.2 控制律

为了在执行笛卡尔轨迹跟踪任务的同时，在意外外部接触时保持柔顺行为，定义了关节扭矩控制律：
(\tau_c = J^T \cdot F_{task} + N(q) \cdot \tau_{null} + \tau_{comp})
其中，(\tau_{comp} \in \mathbb{R}^{n}) 是补偿重力和摩擦效应的扭矩向量。任务空间力 (F_{task} \in \mathbb{R}^{m}) 用于实现轨迹跟踪，对于期望的笛卡尔轨迹 (x_d \in \mathbb{R}^{m})，柔顺行为由对角常数矩阵 (K_p \in \mathbb{R}^{m\times m}) 和 (K_d \in \mathbb{R}^{m\times m}) 以PD调节器的形式表示：
(F_{task} = K_p (x_d - x) - K_d \dot{x})
这种柔顺行为可以模拟机械弹簧/阻尼器系统，降低机器人平台与患者意外交互时的受伤风险。扭矩向量 (\tau_{null} \in \mathbb{R}^{n}) 用于利用机器人的冗余度 (r = n - m = 2)，通过将期望任务投影到 (J(q)) 的零空间来实现。为此，扭矩向量需预先乘以零空间投影器 (N(q) = I_{n\times n} - J^T J^+)。

1.3 初步结果

为了验证机器人扭矩控制的性能，在Matlab - Simulink中使用SimScape工具箱开发了动态模拟器。Simulink根据组装的多体系统的几何和惯性参数计算机器人的动态模型，并实现了递归牛顿 - 欧拉算法来计算重力补偿扭矩。

为了在执行期望的笛卡尔轨迹时稳定机器人的内部运动，定义了零空间扭矩 (\tau_{null})：
(\tau_{null} = K_{p_{null}} (q_{init} - q) - K_{d_{null}} \dot{q})
其中，(K_{p_{null}} \in \mathbb{R}^{m\times m}) 和 (K_{d_{null}} \in \mathbb{R}^{m\times m}) 是对角常数矩阵，(q_{init} \in \mathbb{R}^{n}) 是初始关节配置。该控制律起到机械阻尼 - 弹簧系统的作用，确保零空间内的稳定和平滑运动。

为了验证Franka机器人和线性轴的同步运动，沿Y轴施加了一条线性轨迹，超出了Franka协作机器人的工作空间限制。由于末端执行器的方向与线性轴的运动轴解耦，期望的值保持不变。

常数矩阵经验性地设置为 (K_p = diag(2500, 90, 2500, 40, 40, 40))，根据相关研究，为避免在平衡位置附近振荡，(K_d) 的每个值设置为 (K_{d_{j,k}} = 2\sqrt{K_{p_{j,k}}})。根据 (K_{p_{null}}) 和 (K_{d_{null}}) 的值，可以选择是轴还是机器人先移动。

在测试开始前，将末端执行器沿Y轴的笛卡尔位置设置为0 m，然后沿Y轴施加一条总长度为1 m的线性期望轨迹。测试过程中，线性轴在机器人到达其工作空间限制之前保持静止，经过过渡区域后，线性轴从其中间位置移动到上限（设置为 (q_0 = 0.45) m），总运动幅度为0.9 m。笛卡尔位置运动显示沿Y轴有唯一的1米平移，而X和Z轴保持静止。

线性轴技术参数	详情
轴	Parker HMRB15
电机	Brushless Motor AKM3
驱动器	Kollmorgen AKD - P00306
最大施加扭矩	3 Nm
施加线性速度	10 mm/s
运动幅度	900 mm

以下是该机器人控制设计的流程图：

graph TD;
    A[初始关节配置] --> B[计算零空间扭矩];
    B --> C[计算任务空间力];
    C --> D[计算关节扭矩];
    D --> E[控制机器人运动];
    E --> F[获取当前关节状态];
    F --> B;

2. DELTA机器人正运动学的串行求解方法

在工业应用中，并联机器人因其良好的刚度、高精度和高稳定性而受到越来越多的关注，但它们也存在工作空间受限和运动学模型复杂的问题。DELTA机器人作为一种典型的并联机器人，在解决其正运动学模型（FKM）时面临诸多挑战。

2.1 DELTA机器人概述

DELTA机器人具有三个自由度，由三个相同的运动链将基座连接到移动平台。每个腿部通过旋转关节连接到基座，并通过球形关节连接到平行四边形机构，该平行四边形机构再通过球形关节连接到移动平台。

在研究中，提出了一种不同架构的DELTA机器人，其所有关节都被替换为旋转关节，这种架构适用于医疗任务。

2.2 正运动学模型

基于串行方法，在一条腿上放置三个传感器来确定平台的方向，传感器测量角度 ((\Theta_1, \Theta_2, \Theta_3))。为了计算移动平台的位置，向量坐标 (OP = [X_P, Y_P, Z_P]) 在参考系 (R_0) 中表示，其计算公式为：
(\begin{cases}
X_P = L_0 - L_3 + L_1 \cos \Theta_1 + L_2 \cos \Theta_3 \sin \Theta_2 \
Y_P = -L_2 \sin \Theta_3 \
Z_P = L_1 \sin \Theta_1 + L_2 \cos \Theta_3 \cos \Theta_2
\end{cases})
其中，(L_0, L_1, L_2, L_3) 是机器人的几何参数。在串行方法中，旋转关节角度 ((\Theta_1, \Theta_2, \Theta_3)) 由传感器给出，这简化了正运动学模型的计算复杂度。

几何参数	值（mm）
(L_1)	50
(L_2)	120
(L_3)	100
(L_4)	70

2.3 逆运动学模型

逆运动学模型（IKM）用于根据平台的给定位置（点P，设计为移动平台的中心）计算旋转关节 ((\Theta_1, \Theta_2, \Theta_3))。从正运动学方程可以推导出：
(\Theta_3 = \sin^{-1}(-Y_P / L_2))
将正运动学方程进行整理可得：
(\begin{cases}
X_P - L_2 \cos \Theta_3 \sin \Theta_2 - L_0 + L_3 = L_1 \cos \Theta_1 \
Z_P - L_2 \cos \Theta_3 \cos \Theta_2 = L_1 \sin \Theta_1
\end{cases})
两式平方相加得到：
(A \cos \Theta_2 + B \sin \Theta_2 + C = 0)
(\Theta_2) 的解为：
(\Theta_2 = 2\tan^{-1}\left(\frac{-B \pm \sqrt{A^2 + B^2 - C^2}}{-A - C}\right))
(\Theta_1) 的解可从上述方程中获得。

2.4 串行方法的数值验证

为了评估串行方法求解正运动学模型的准确性，计算已知移动平台配置P与添加随机测量噪声（代表传感器灵敏度 (d\Theta_k^j)）后的解 (P_s) 之间的误差。随机测量服从标准差为 (0.04^{\circ}) 的正态分布。

误差计算方法为：
(\epsilon_k = \sqrt{(x_k - x_{ks})^2 + (y_k - y_{ks})^2 + (z_k - z_{ks})^2})

对于初始配置，选择一个圆形轨迹：
(\begin{cases}
X = 10 \cos t + 20 \
Y = 10 \sin t \
Z = 100
\end{cases} (t = 0 \to 2\pi))

通过模拟得到的误差分布直方图和累积分布函数表明，90%的误差计算值小于0.2 mm，这是一个较好的结果。

同时，串行方法旨在加快正运动学模型的求解速度。在INTEL i7处理器（最高3.6 GHz）上，对比了串行方法和经典方法求解FKM的计算时间。

以下是评估串行方法准确性的流程图：

graph TD;
    A[初始平台配置P] --> B[串行逆运动学模型];
    B --> C[得到关节值\(\Theta_J\)];
    C --> D[添加随机噪声];
    D --> E[串行正运动学模型];
    E --> F[得到解\(P_s\)];
    F --> G[计算误差\(\epsilon_k\)];

综上所述，8自由度冗余机器人平台的运动学和动力学建模及控制律设计为医疗应用提供了一种可行的解决方案，而DELTA机器人正运动学的串行求解方法在提高计算准确性和速度方面具有显著优势，这两种技术都为机器人领域的发展提供了新的思路和方法。

3. 两种机器人技术的优势与应用前景

3.1 8自由度冗余机器人平台的优势与应用

8自由度冗余机器人平台结合了7自由度协作机器人和电动线性轴，展现出多方面的优势。
- 医疗应用适应性 ：在医疗领域，如多普勒超声检查中，该平台能够在不手动移动机器人底座的情况下覆盖患者的整个身体。其柔顺控制律可以模拟机械弹簧/阻尼器系统，降低与患者意外交互时的受伤风险，为医疗操作提供了更高的安全性。
- 运动灵活性 ：通过零空间扭矩的设计，能够利用机器人的冗余度，实现稳定和平滑的运动。在测试中，线性轴和机器人的协同运动展示了其在工作空间扩展和任务执行上的灵活性。当机器人到达工作空间限制后，线性轴开始运动，实现了沿Y轴的连续运动，而X和Z轴保持静止，满足了特定任务的需求。

以下是该机器人在医疗应用中的优势列表：
1. 覆盖范围广：可在不移动底座的情况下检查患者全身。
2. 安全性高：柔顺控制降低受伤风险。
3. 运动灵活：线性轴与机器人协同扩展工作空间。

3.2 DELTA机器人串行求解方法的优势与应用

DELTA机器人正运动学的串行求解方法为解决并联机器人运动学模型复杂的问题提供了有效途径。
- 计算准确性提高 ：通过在一条腿上放置三个传感器，简化了正运动学模型的计算复杂度。数值验证表明，该方法计算的误差较小，90%的误差计算值小于0.2 mm，提高了求解的准确性。
- 计算速度加快 ：串行方法旨在加快正运动学模型的求解速度。在INTEL i7处理器上的测试显示，与经典方法相比，串行方法在计算时间上具有明显优势。
- 应用领域拓展 ：这种方法使得DELTA机器人在工业和医疗等领域的应用更加可行。在工业中，可用于需要高精度和高速度的装配、搬运等任务；在医疗中，适用于对精度要求较高的手术辅助、康复治疗等场景。

以下是DELTA机器人串行求解方法的优势列表：
1. 准确性高：误差小，提高求解精度。
2. 速度快：加快正运动学模型求解。
3. 应用广：适用于工业和医疗等多领域。

4. 未来发展方向

4.1 8自由度冗余机器人平台的发展方向

• 多模态控制策略 ：进一步研究和开发多种控制策略，充分利用机器人的冗余度，实现更加复杂和高效的运动控制。例如，结合视觉、力觉等多种传感器信息，实现自适应的任务执行。
• 智能化应用 ：引入人工智能技术，使机器人能够自主学习和决策。在医疗应用中，机器人可以根据患者的生理特征和病情自动调整操作参数，提高诊断和治疗的准确性。
• 远程操作与协作 ：发展远程操作技术，使医生可以在不同地点对机器人进行控制。同时，实现多机器人之间的协作，共同完成复杂的医疗任务。

4.2 DELTA机器人串行求解方法的发展方向

• 传感器优化 ：研究更先进的传感器技术，提高传感器的精度和可靠性，进一步降低测量误差，提高正运动学模型的求解准确性。
• 算法改进 ：不断优化串行求解算法，结合新的数学方法和计算技术，进一步加快计算速度，提高机器人的响应能力。
• 与其他技术融合 ：将串行求解方法与机器人的动力学建模、控制算法等相结合，实现机器人的整体性能提升。同时，探索与虚拟现实、增强现实等技术的融合，为机器人的应用带来新的体验。

5. 总结

本文介绍了两种机器人相关技术：8自由度冗余机器人平台的运动建模与控制以及DELTA机器人正运动学的串行求解方法。

8自由度冗余机器人平台通过合理的运动学和动力学建模以及控制律设计，实现了在医疗应用中的高效、安全和灵活运动。其结合了协作机器人和线性轴的优势，为医疗检查等任务提供了新的解决方案。

DELTA机器人正运动学的串行求解方法通过在一条腿上放置传感器，简化了计算复杂度，提高了求解的准确性和速度。该方法为并联机器人在工业和医疗等领域的应用提供了有力支持。

这两种技术都为机器人领域的发展带来了新的思路和方法，未来有望在更多领域得到广泛应用，并不断发展和完善。

以下是两种机器人技术的对比表格：
| 技术类型 | 优势 | 应用领域 | 未来发展方向 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 8自由度冗余机器人平台 | 覆盖范围广、安全性高、运动灵活 | 医疗（如多普勒超声检查） | 多模态控制、智能化应用、远程操作与协作 |
| DELTA机器人串行求解方法 | 准确性高、速度快、应用广 | 工业（装配、搬运）、医疗（手术辅助、康复治疗） | 传感器优化、算法改进、与其他技术融合 |

graph LR;
    A[8自由度冗余机器人平台] --> B[医疗应用];
    A --> C[多模态控制];
    A --> D[智能化应用];
    A --> E[远程操作与协作];
    F[DELTA机器人串行求解方法] --> G[工业应用];
    F --> H[医疗应用];
    F --> I[传感器优化];
    F --> J[算法改进];
    F --> K[与其他技术融合];

通过以上的分析和介绍，我们可以看到这两种机器人技术在当前和未来都具有重要的价值和发展潜力。随着技术的不断进步，它们将为我们的生活和工作带来更多的便利和创新。