6、旋转矩阵：定义、参数化及应用

旋转矩阵：定义、参数化及应用

1. 旋转矩阵的定义

旋转矩阵，也称为正交矩阵，是一种特殊的矩阵 $R$，其逆矩阵 $R^{-1}$ 等于其转置矩阵 $R^T$，即 $R^{-1} = R^T$。若 $\det(R) = +1$，则旋转矩阵 $R$ 对应右手（右旋）基；若 $\det(R) = -1$，则对应左手（左旋）基。

设 $\mathbb{X}$ 和 $\mathbb{Y}$ 为两个坐标系，向量 $\mathbf{v}$ 在这两个坐标系下的坐标表示分别为 $\mathbf{v} {\mathbb{X}}$ 和 $\mathbf{v} {\mathbb{Y}}$，它们之间的关系可以通过以下公式表示：
$\mathbf{v} {\mathbb{X}} = R {\mathbb{X}}^{\mathbb{Y}}\mathbf{v} {\mathbb{Y}}$
$\mathbf{v} {\mathbb{Y}} = R_{\mathbb{Y}}^{\mathbb{X}}\mathbf{v}_{\mathbb{X}}$

其中，矩阵 $R_{\mathbb{X}}^{\mathbb{Y}}$ 将 $\mathbf{v} {\mathbb{Y}}$ 坐标系下的分量转换为 $\mathbb{X}$ 坐标系下的分量，反之，矩阵 $R {\mathbb{Y}}^{\mathbb{X}}$ 将 $\mathbf{v}_{\mathbb{X}}$ 坐标系下的分量转换为 $\mathbb{Y}$ 坐标系下的分量。这两个方程定义了一个基变换公式。

定理表明，基变换公式中的矩阵