32、直径受限的斯坦纳树问题研究

直径受限的斯坦纳树问题研究

1. 问题引入与基本概念

在图论与网络设计中，直径受限的斯坦纳树问题（MCDCRP）是一个重要的研究方向。给定一个二元目标树 $T=(V, E)$ 和一个完全图 $G=(V, E, c, w)$，其中 $T$ 的所有叶子节点（终端）在 $G$ 中的位置是固定的，我们的主要任务是将 $T$ 的所有非叶子节点分配到 $G$ 中的某些位置。这里定义了一个分配函数 $\lambda : V \setminus S \to V \setminus S$，其中 $\lambda(\alpha) = v$ 表示 $\alpha \in V \setminus S$ 被分配到 $v \in V \setminus S$。

根据非叶子节点的分配情况，$T$ - ROT（树的路由优化问题）可以分为退化和非退化两种情况。如果 $T$ 的不同非叶子节点被分配到 $G$ 的同一位置，则称 $T$ - ROT 是退化的；否则为非退化的。进一步地，退化的 $T$ - ROT 又可分为强退化和弱退化：若 $T$ 的两个相邻顶点被分配到 $G$ 的同一位置，则为强退化；否则为弱退化。通过为 $G$ 的每个顶点 $v$ 设置 $w(v, v) = \infty$，可以很容易避免强退化的情况。由于弱退化的 $T$ - ROT 在实际应用中更具代表性，且比非退化的情况更容易求解，所以后续将主要关注弱退化的 MCDCRP。

2. 树的类型与处理方法

• 二叉树 ：当 $T$ 是二叉树时，对于每个 $\alpha \in V \setminus S$，它有左子节点 $\alpha_l$ 和右子节点 $\alpha_r$。$T