43、曲线与斯坦纳树问题的研究

曲线与斯坦纳树问题的研究

1. ϕ - 自逼近曲线的相关研究

在曲线研究领域，对于 ϕ - 自逼近曲线的探讨有诸多重要成果。首先，对于曲线 (f) 端点的距离 (AZ)，有如下公式：
(AZ = \sqrt{((1 + e^{\pi \cot \phi})e^{\beta’ \cot \phi} -\cos \beta’)^2 + \sin^2 \beta’})
从定理 1 可以得出：
(\frac{\text{length}(f)}{AZ} \leq \frac{L_1 + L_2 + L_3}{AZ} \cdot \frac{1}{1 + \cos \phi})
右边的项可以转化为：
(\frac{(1 + e^{\pi \cot \phi})e^{\beta’ \cot \phi} -\frac{2}{1+\cos \phi} \cos \phi}{\sqrt{((1 + e^{\pi \cot \phi})e^{\beta’ \cot \phi} -\cos \beta’)^2 + \sin^2 \beta’}})

对于 ϕ - 自逼近曲线的迂回上限 (c(\phi))，有定理表明其是紧的。下面是证明过程：
我们构造一条从 (A) 到 (Z) 的 ϕ - 自逼近曲线 (f)，其构造过程如下：
- 曲线开始部分有两条对数螺线，类似于引理 4 证明中的部分 (1) 和部分 (2)，不过部分 (2) 被拆分成了两部分。
- 长度为 1 的线段 (C’Z) 被一条长度为 (L_3’ = \frac{2}{1 + \cos \phi}) 的 ϕ - 自逼近曲折曲线所替代，该曲线在沿着线段 (C’Z) 的一个薄矩形内移动。