31、快速边缘搜索及相关问题与直径约束斯坦纳树问题解析

快速边缘搜索及相关问题与直径约束斯坦纳树问题解析

快速边缘搜索及相关问题

在图搜索领域，传统的图搜索问题大多聚焦于捕获逃犯所需的最少搜索者数量。而这里引入了快速边缘搜索问题，着重考虑捕获逃犯的最少步骤。

图的清理与搜索者放置

对于图的清理过程，当图中的子图 (H_i) 与 (N_B(a)) 有交集时，若必要会在顶点 (a) 放置搜索者，以便将 (|V (H_i) ∩ N_B(a)|) 个搜索者从 (a) 滑动到 (V (H_i) ∩ N_B(a)) 中的每个顶点。这里分为两种子情况：
- 情况 2.1（(i < h)） ：在 (H_i) 的每个未占用顶点放置一个搜索者，再在 (H_i) 的一个顶点放置一个搜索者并沿 (H_i) 的所有边滑动以清理 (H_i)。由于 (i < h)，有足够的搜索者清理 (H_i)，并且在清理 (B) 时，(V (H_i)) 上最多留下 (|V (H_i)|) 个搜索者。
- 情况 2.2（(i = h)） ：因为 (h > 1)，(H_h) 中存在一个顶点 (u) 是路径 (P) 的端点，且在对 (H_h) 放置搜索者之前已被占用。在 (H_h) 的每个未占用顶点放置一个搜索者，在顶点 (u) 放置另一个搜索者并沿 (H_h) 的所有边滑动以清理 (H_h)。这样，可以使用 (|V (H_h)| + 1) 个搜索者清理 (H_h)，并且至少有一个搜索者来自另一个组件。

对于 (V (H_i)) 中满足最短路径 (P_{uv}) 是路径 (P) 的子路径的每对顶点 (u) 和 (v)，将搜索者从 (P_{uv})