二次同余

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二次同余

今天来学习二次剩余。

背景

2018SCOI就考了这个。
然后我就被送退役了。
yy就切了然后拿了一本。

怎么判断是否有解

考虑我们知道n、p，要求x: $p)x^2{\equiv}n(Mod\ p)$
特判0的情况后：
$(有解)=[np−12≡1](有解)=[n^{\frac{p-1}{2}}{\equiv}1]$
如果 $p)n^{\frac{p-1}{2}}{\equiv}1 (Mod\ p)$ ,因为 $p)x^2{\equiv}n(Mod\ p)$ ,所以 $p)x^{p-1}{\equiv}1(Mod \ p)$ 可行
否则可得 $p)x^{p-1}{\equiv}-1(Mod \ p)$ 显然不可行。

判断完有没有解该干啥

首先我们知道：对于任何一个符合 $p)x^2{\equiv}n(Mod\ p)$ 的n，有+x、-x两解，那么有解无解的各占1/2。
然后我们随机生成一个数a,使得 $p)x^2{\equiv}a^2-n(Mod\ p)$ 无解（也就是 $(a2−n)p−12≡−1(a^2-n)^{\frac{p-1}{2}}{\equiv}-1$ ）,并且钦定一个 $w=a2−nw=\sqrt{a^2-n}$ ,让它与1构成一个复数域。
这个东西和复数性质相近，但是注意相乘时由虚数部相乘得到的合数部贡献要乘上 $a^2-n$ (因为 $w2=a2−n2w^2={\sqrt{a^2-n}}^2$ )
然后有结论： $(a+w)p+12(a+w)^{\frac{p+1}{2}}$ 即为所求的x.
考虑这个东西的平方就是 $a+w)^{p+1}$
需要注意到 $a+w)^{p}=a^p+w^p$
由二项式定理得除了这两项以外全部都在组合数中含有一个p的因子，最后膜出来肯定是0.
又因为 $a^{p-1}=1$ 所以 $a^p=a$
同理 $wp−1=(w2)p−12=−1w^{p-1}=(w^2)^{\frac{p-1}{2}}=-1$
所以 $w^p=-w$
则 $a+w)^{{p+1}}=(a+w)(a^p+w^p)$
又 $= (a + w) (a - w)$
$a^2-w^2$
$a^2-(a^2-n)$ ~~(flag回收)~~
$= n$
所以 $((a+w)p+12)2=n((a+w)^{\frac{p+1}{2}})^{2}=n$
至于为啥这个东西虚部为0？
结论别问。问就两行泪。
就酱。
upd