二次同余式(草稿)

原理

求解方法

实现

/*==================================================*\
| 二次同余式 x^2 === a (mod p) 的解 -- 最多两个
| p为奇素数 且 (a, p) = 1
\*==================================================*/
LL modSqrt(LL a, LL p) {
    if(p == 2) return a%p;
    if(powMod(a, (p-1)>>1, p) != 1) return -1;
    if(p%4 == 3) return powMod(a, (p+1)>>2, p);

    LL b, x;
    for(b = 1; powMod(b, (p-1)>>1, p) == 1; ++b);
    LL i = (p-1)>>1, k = 0;
    do {
        i >>= 1, k >>= 1;
        if((powMod(a, i, p)*powMod(b, k, p)+1)%p == 0) k += ((p-1)>>1);
    } while(i%2 == 0);
    x = (powMod(a, (i+1)>>1, p)*powMod(b, k>>1, p)) % p;
    return x;

}// 两个解为 x 和 p-x

/*==================================================*\
| 二次同余式 x^2 === a (mod p) 的解 -- 最多两个
| 另一种解法 -- A神解法
\*==================================================*/
struct node {
    LL p, d;
};//二次域 -- 有理部分 + 无理部分

node mulMod(node a, node b, LL w, LL p) {
    node c;
    c.p = (a.p*b.p%p + a.d*b.d%p*w%p)%p;
    c.d = (a.p*b.d%p + a.d*b.p%p)%p;
    return c;
}//二次域乘法 -- w为根号下的值

node powMod(node a, LL b, LL w, LL p) {
    node r; r.p = 1, r.d = 0;
    while(b) {
        if(b&1) r = mulMod(r, a, w, p);
        a = mulMod(a, a, w, p);
        b >>= 1;
    }
    return r;
}

LL modSqrt(LL a, LL p) {
    a %= p;
    if(p == 2) return a%p;
    if(powMod(a, (p-1)>>1, p)== p-1) return -1;

    LL b = -1, w;
    while(1) {
        b = rand() % p; //++b;
        w = b*b - a; w = (w+p)%p;
        if(powMod(w, (p-1)>>1, p) == p-1) break;
    }
    node r, ans; r.p = b, r.d = 1;
    ans = powMod(r, (p+1)>>1, w, p);
    return ans.p;
}

模为合数的解法

应用

Square Root URAL - 1132