密码学数论基础:求同余二次根

同余的概念定义

给定一个正整数m，如果a，b，m能满足a-b能被m整除，那么可以说a，b对模m同余，记作a≡b(mod m)

同余二次根的概念和定义

求x^2≡b(mod p*q)求出x。

几个重要结论

1.除了2以外的所有素数p，必定满足p≡1（mod4）或者p≡3（mod4），这个结论不难证明。

2.关于5mod11的平方根的解为±4.

3.由结论1，如果x是一个正整数，p是一个素数且p≡3(mod4)

那么有

x≡±y^[(p+1)/4] (mod p)

如果y有一个平方根的解modp满足，那么这个平方根modp就是±x。

例题：

求解71mod77的二次根，即解x^2≡71（mod77）。

将77分解质因数，为7*11.

所求x比满足一下两个模为素数的二次同余方程，

1.x^2≡71mod7≡1mod7

2.x^2≡71mod11=5mod11，

由上面的结论，可得

x≡±1mod7

x≡±4mod11

任取一次同号和一次异号情况即可。

即解两个方程组。很自然由中国剩余定理，具体可以百度，算出x其中两个为±15，另两组为±29

实质

从上述的计算过程不难看出，计算二次根的过程等价于把n分解成两个素数相乘。