信息安全数学基础 第4章 二次同余式与平方剩余

二次同余式与平方剩余

4.1 一般二次同余式

定义 4.1.1

设$m$是正整数。若同余式
$$x^2\equiv a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m,(a,m)=1$$
有解，则$a$叫做模$m$的平方剩余(二次剩余)；否则，$a$叫做模$m$的平方非剩余。

4.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余

定理 4.2.1(欧拉判别条件)

设$p$是奇素数，$(a,p)=1$，则

1. $a$是模$p$的平方剩余的充分必要条件是
   $$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$$

2. $a$是模$p$的平方非剩余的充分必要条件是
   $$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$$

推论 4.2.1

设$p$是奇素数，$(a_1,p)=1,(a_2,p)=1$，则

1. 若$a_1,a_2$均为模$p$的平方剩余，则$a_1\cdot a_2$为模$p$的平方剩余。
2. 若$a_1,a_2$均为模$p$的平方非剩余，则$a_1\cdot a_2$为模$p$的平方剩余。
3. 若$a_1,a_2$一个为模$p$的平方剩余，一个为模$p$的平方非剩余，则$a_1\cdot a_2$为模$p$的平方非剩余。

定理 4.2.2

设$p$是奇素数，则模$p$的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余的个数各为$\frac{p-1}{2}$，且$\frac{p-1}{2}$个平方剩余与序列
$$1^2,2^2,\cdots ,(\frac{p-1}{2}{)}^2$$
与且只与一个数同余。

4.3 勒让德符号

定义 4.3.1 (Lengendre符号)

设$p$为素数，定义勒让德符号为
$$\left(\frac{a}{p}\right)=\{\begin{array}{l}\\ 1,\end{array}$$