信息安全数学基础第4章二次同余式与平方剩余

最新推荐文章于 2024-02-03 17:16:16 发布

NelsonCheung

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分类专栏：信息安全数学基础

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本文探讨了二次同余式的基本概念与性质，包括平方剩余的定义、欧拉判别条件、勒让德符号及二次互反律等内容，并详细阐述了如何判断二次同余方程是否有解的方法。

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二次同余式与平方剩余

4.1 一般二次同余式

定义 4.1.1

设 $m$ 是正整数。若同余式
$x^2\equiv a\mod m,\ (a,m)=1$
有解，则 $a$ 叫做模 $m$ 的平方剩余(二次剩余)；否则， $a$ 叫做模 $m$ 的平方非剩余。

4.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余

定理 4.2.1(欧拉判别条件)

设 $p$ 是奇素数， $(a, p) = 1$ ，则

$a$ 是模 $p$ 的平方剩余的充分必要条件是
$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv1\mod p$
$a$ 是模 $p$ 的平方非剩余的充分必要条件是
$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\mod p$

推论 4.2.1

设 $p$ 是奇素数， $a_1,p)=1,(a_2,p)=1$ ，则

若 $a_1,a_2$ 均为模 $p$ 的平方剩余，则 $a1⋅a2a_1\cdot a_2$ 为模 $p$ 的平方剩余。
若 $a_1,a_2$ 均为模 $p$ 的平方非剩余，则 $a1⋅a2a_1\cdot a_2$ 为模 $p$ 的平方剩余。
若 $a_1,a_2$ 一个为模 $p$ 的平方剩余，一个为模 $p$ 的平方非剩余，则 $a1⋅a2a_1\cdot a_2$ 为模 $p$ 的平方非剩余。

定理 4.2.2

设 $p$ 是奇素数，则模 $p$ 的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余的个数各为 $p−12\frac{p-1}{2}$ ，且 $p−12\frac{p-1}{2}$ 个平方剩余与序列
$1^2,2^2,\cdots,(\frac{p-1}{2})^2$
与且只与一个数同余。

4.3 勒让德符号

定义 4.3.1 (Lengendre符号)

设 $p$ 为素数，定义勒让德符号为
$\left( \frac{a}{p} \right) = \begin{cases} 1, & \text{若$a$是模$p$的平方剩余}\\ -1, & \text{若$a$是模$p$的平方非剩余}\\ 0, & \text{$p$|$a$} \end{cases}$

定理 4.3.1 (欧拉判别法则)

若 $p$ 是奇素数，则对任意整数 $a$
$\left( \frac{a}{p} \right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\mod p$

定理 4.3.2

若 $p$ 是奇素数，则有
$\left( \frac{1}{p} \right)=1\\ \left( \frac{-1}{p} \right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}$

定理 4.3.3

若 $p$ 是奇素数，则有
$\left( \frac{a+p}{p} \right)= \left( \frac{a}{p} \right)\\ \left( \frac{a\cdot p}{p} \right)= \left( \frac{a}{p} \right)\cdot\left( \frac{b}{p} \right)\\ \text{若$(a,p)=1$,则} \left( \frac{a^2}{p} \right)=1$

推论 4.3.3

若 $p$ 是奇素数，且 $pa\equiv b\mod p$ ，则有
$\left( \frac{a}{p} \right)= \left( \frac{b}{p} \right)$

引理 4.3.1 (高斯引理)

设 $p$ 是奇素数， $a$ 是整数， $(a, p) = 1$ 。如果整数
$a\cdot1,a\cdot2,\cdots,a\cdot\frac{p-1}{2}$
中模 $p$ 的最小正剩余大于 $p2\frac{p}{2}$ 的个数为 $m$ ，则有
$\left( \frac{a}{p} \right)=(-1)^m$

定理 4.3.4

设 $p$ 是奇素数，则有

$(2p)=(−1)p2−18\left( \frac{2}{p} \right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$
若 $(a, 2 p) = 1$ ，则 $(ap)=(−1)T(a,p)\left( \frac{a}{p} \right)=(-1)^{T(a,p)}$ ，其中 $T(a,p)=∑k−1p−12[a⋅kp]T(a,p)=\sum_{k-1}^{\frac{p-1}{2}}\left[\frac{a\cdot k}{p}\right]$

4.4 二次互反律

定理 4.4.1 (二次互反律)

若 $p, q$ 是互素的奇素数，则
$\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}\left(\frac{p}{q}\right)$

4.5 雅可比符号

定义 4.5.1

设 $m=p1p2⋯prm=p_1p_2\cdots p_r$ 是奇素数 $p_i$ 的乘积。对于任意整数 $a$ ，定义雅可比符号为
$\left(\frac{a}{m}\right)=\left(\frac{a}{p_1}\right)\left(\frac{a}{p_2}\right)\cdots\left(\frac{a}{p_r}\right)$
对于 $(a, m) = 1$ ，则有
$\left(\frac{a}{m}\right)=1\Leftarrow x^2\equiv a\mod m \text{有解}\\ \left(\frac{a}{n}\right)=-1\Rightarrow x^2\equiv a\mod m \text{无解}\\$

定理 4.5.1

设 $m$ 是正奇数，则

$(a+mm)=(am)\left(\frac{a+m}{m}\right)=\left(\frac{a}{m}\right)$
$(a⋅bm)=(am)⋅(bm)\left(\frac{a\cdot b}{m}\right)=\left(\frac{a}{m}\right)\cdot\left(\frac{b}{m}\right)$
设 $(a, m) = 1$ ，则 $(a2m)=1\left(\frac{a^2}{m}\right)=1$

引理 4.5.1

设 $m=p1p2⋯prm=p_1p_2\cdots p_r$ 是奇数，则
$\frac{m-1}{2}\equiv\frac{p_1-1}{2}\frac{p_2-1}{2}\cdots\frac{p_r-1}{2}\mod 2\\ \frac{m^2-1}{8}\equiv\frac{p_1^2-1}{8}\frac{p_2^2-1}{8}\cdots\frac{p_r^2-1}{8}\mod 2$