二次同余方程
形如 X2≡nX^2≡nX2≡n (mod(mod(mod p)p)p) ( ppp 为质数)形式的方程,我们称之为质数模的二次同余方程 。下面将详细阐述二次同余方程是否有解的判定,并且给出解的形式,和代码求解。
定理
费马小定理
对于一个质数 ppp 和一个数 aaa ( aaa 不为 ppp 的倍数)有 apa^pap−^-−1≡1^1≡11≡1 (mod(mod(mod p)p)p) .
证明与结论
结论一
n(n^(n(p^pp−^-−1^11)^))/^//2^22 ≡≡≡ ±1±1±1 (mod(mod(mod p)p)p)
当值为 −1-1−1 时,实际 n(n^(n(p^pp−^-−1^11)^))/^//2=p−1^2=p-12=p−1 .
证明:
由于 npn^pnp−^-−1≡1^1≡11≡1 (mod(mod(mod p)p)p) .
故 npn^pnp−^-−1−1≡0^1-1≡01−1≡0 (mod(mod(mod p)p)p) .
故 (((n(n^(n(p^pp−^-−1^11)^))/^//2^22+1)(+1)(+1)(n(n^(n(p^pp−^-−1^11)^))/^//2^22−1)-1)−1) ≡0≡0≡0 (mod(mod(mod p)p)p) .
故 n(n^(n(p^pp−^-−1^11)^))/^//2^22 ≡≡≡ ±1±1±1 (mod(mod(mod p)p)p) .
结论二(欧拉判别条件)
(1)当 n(n^(n(p^pp−^-−1^11)^))/^//2≡^2≡2≡ +1+1+1 (mod(mod(mod p)p)p) 时,二次同余方程有解 ;
(2)当 n(n^(n(p^pp−^-−1^11)^))/^//2≡^2≡2≡ −1-1−1 (mod(mod(mod p)p)p) 时,二次同余方程无解 。
结论三
若 aaa 满足 w=a2−nw= a^2-nw=a2−n 使 X2≡w(modX^2≡w (modX2≡w(mod p)p)p) 无解,那么 (a+sqrt(w))(a+sqrt(w))(a+sqrt(w))(^((p^pp−^-−1^11)^))/^//2^22 即为二次同余方程的解 .
证明:
由于 apa^pap−^-−1≡1^1≡11≡1 (mod p)p)p) 故 ap≡aa^p≡aap≡a (mod(mod(mod p)p)p) .
再由于 ppp 为质数,故 Cpi≡0C^i_p≡0Cpi≡0 (mod(mod(mod p)p)p). 同时由条件可得 www(^((p^pp−^-−1^11)^))/^//2≡−1^2≡-12≡−1 (mod(mod(mod p)p)p) .
故 式子 (a+sqrt(w))p(a+sqrt(w))^p(a+sqrt(w))p 经过展开和化简可以得到等式 (a+sqrt(w))p≡a−sqrt(w)(a+sqrt(w))^p≡a-sqrt(w)(a+sqrt(w))p≡a−sqrt(w) (mod(mod(mod p)p)p) .
将式子两边同乘以(a+sqrt(w))(a + sqrt(w))(a+sqrt(w)) 可得 (a+sqrt(w))p(a+sqrt(w))^p(a+sqrt(w))p+^++1≡a2−w≡n^1≡a^2-w≡n1≡a2−w≡n (mod(mod(mod p)p)p) .
故 X2≡X^2≡X2≡ (a+sqrt(w))p(a+sqrt(w))^p(a+sqrt(w))p+^++1^11 即 X≡X≡X≡ (a+sqrt(w))(a+sqrt(w))(a+sqrt(w))(^((p^pp−^-−1^11)^))/^//2^22 .
代码
说明:
(1) 在代码中,aaa 利用随机函数获取,由于获得可行的 aaa 的几率较高,所以在获取 aaa 的过程中不会耗时过长。
(2) 在处理 (a+sqrt(w))n(a+sqrt(w))^n(a+sqrt(w))n 的过程中运用到了二次域,其实便是记录 sqrt(w)sqrt(w)sqrt(w) 的系数来进行幂运算,由于上述的推导,可知最后 sqrt(w)sqrt(w)sqrt(w) 的系数一定会变为 000 , 二次域快速幂只需将普通的快速幂稍作改变即可实现 。
备注: 有些时候 XXX 可能是一个式子,最终求解未知数 xxx 的时候可能会遇上除法,这需要看成分数,利用逆元来解决,而不是直接用除法来解。
ll n, w, ans;
int mod = 1e9 + 7;
struct Qd { //二次域
ll p, d;
Qd mul(Qd a, Qd b) {
Qd ans;
ans.p = ((a.p*b.p) % mod + (a.d*b.d) % mod*w % mod) % mod;
ans.d = ((a.p*b.d) % mod + (a.d*b.p) % mod) % mod;
return ans;
}
Qd qmul(Qd n, ll m) {
Qd ans;
ans.p = 1; ans.d = 0;
while (m) {
if (m & 1) {
ans = ans.mul(ans, n);
}
m >>= 1;
n = n.mul(n, n);
}
return ans;
}
};
ll qpow(ll n, ll m, int mod) { //快速幂
ll res = 1;
while (m) {
if (m & 1) {
res = (res*n) % mod;
}
m >>= 1;
n = (n*n) % mod;
}
return res;
}
ll getans() { //求解 X
ll a, t;
do {
a = rand() % mod;
t = a*a - n;
w = (t + mod) % mod;
} while (qpow(w, (mod - 1) / 2, mod) + 1 != mod);
Qd tmp;
tmp.p = a; tmp.d = 1;
Qd ans = tmp.qmul(tmp, (mod + 1) / 2);
return ans.p;
}
int main() {
scanf("%lld", &n);
if (qpow(n, (mod - 1) / 2, mod) + 1 == mod) {
cout << "No solution";
}
else {
ans = getans();
printf("%lld",ans);
}
return 0;
}