ACM - 数论 | 二次同余方程(质数模)

本文深入探讨了质数模的二次同余方程X^2≡n(mod p)的解的存在性和求解方法,通过费马小定理和欧拉判别条件判断方程是否有解,给出了求解的具体算法。

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二次同余方程

形如 X2≡nX^2≡nX2n (mod(mod(mod p)p)p)ppp 为质数)形式的方程,我们称之为质数模的二次同余方程 。下面将详细阐述二次同余方程是否有解的判定,并且给出解的形式,和代码求解。

定理

费马小定理

对于一个质数 ppp 和一个数 aaaaaa 不为 ppp 的倍数)有 apa^pap−^-1≡1^1≡111 (mod(mod(mod p)p)p) .

证明与结论

结论一

n(n^(n(p^pp−^-1^11)^))/^//2^22 ≡≡ ±1±1±1 (mod(mod(mod p)p)p)
当值为 −1-11 时,实际 n(n^(n(p^pp−^-1^11)^))/^//2=p−1^2=p-12=p1 .

证明:
由于 npn^pnp−^-1≡1^1≡111 (mod(mod(mod p)p)p) .

npn^pnp−^-1−1≡0^1-1≡0110 (mod(mod(mod p)p)p) .

(((n(n^(n(p^pp−^-1^11)^))/^//2^22+1)(+1)(+1)(n(n^(n(p^pp−^-1^11)^))/^//2^22−1)-1)1) ≡0≡00 (mod(mod(mod p)p)p) .

n(n^(n(p^pp−^-1^11)^))/^//2^22 ≡≡ ±1±1±1 (mod(mod(mod p)p)p) .

结论二(欧拉判别条件)

(1)当 n(n^(n(p^pp−^-1^11)^))/^//2≡^2≡2 +1+1+1 (mod(mod(mod p)p)p) 时,二次同余方程有解 ;

(2)当 n(n^(n(p^pp−^-1^11)^))/^//2≡^2≡2 −1-11 (mod(mod(mod p)p)p) 时,二次同余方程无解 。

结论三

aaa 满足 w=a2−nw= a^2-nw=a2n 使 X2≡w(modX^2≡w (modX2w(mod p)p)p) 无解,那么 (a+sqrt(w))(a+sqrt(w))(a+sqrt(w))(^((p^pp−^-1^11)^))/^//2^22 即为二次同余方程的解 .

证明:
由于 apa^pap−^-1≡1^1≡111 (mod p)p)p)ap≡aa^p≡aapa (mod(mod(mod p)p)p) .

再由于 ppp 为质数,故 Cpi≡0C^i_p≡0Cpi0 (mod(mod(mod p)p)p). 同时由条件可得 www(^((p^pp−^-1^11)^))/^//2≡−1^2≡-121 (mod(mod(mod p)p)p) .

故 式子 (a+sqrt(w))p(a+sqrt(w))^p(a+sqrt(w))p 经过展开和化简可以得到等式 (a+sqrt(w))p≡a−sqrt(w)(a+sqrt(w))^p≡a-sqrt(w)(a+sqrt(w))pasqrt(w) (mod(mod(mod p)p)p) .

将式子两边同乘以(a+sqrt(w))(a + sqrt(w))(a+sqrt(w)) 可得 (a+sqrt(w))p(a+sqrt(w))^p(a+sqrt(w))p+^++1≡a2−w≡n^1≡a^2-w≡n1a2wn (mod(mod(mod p)p)p) .

X2≡X^2≡X2 (a+sqrt(w))p(a+sqrt(w))^p(a+sqrt(w))p+^++1^11X≡X≡X (a+sqrt(w))(a+sqrt(w))(a+sqrt(w))(^((p^pp−^-1^11)^))/^//2^22 .

代码

说明:
(1) 在代码中,aaa 利用随机函数获取,由于获得可行的 aaa 的几率较高,所以在获取 aaa 的过程中不会耗时过长。

(2) 在处理 (a+sqrt(w))n(a+sqrt(w))^n(a+sqrt(w))n 的过程中运用到了二次域,其实便是记录 sqrt(w)sqrt(w)sqrt(w) 的系数来进行幂运算,由于上述的推导,可知最后 sqrt(w)sqrt(w)sqrt(w) 的系数一定会变为 000 , 二次域快速幂只需将普通的快速幂稍作改变即可实现 。

备注: 有些时候 XXX 可能是一个式子,最终求解未知数 xxx 的时候可能会遇上除法,这需要看成分数,利用逆元来解决,而不是直接用除法来解。

ll n, w, ans;
int mod = 1e9 + 7;

struct Qd { //二次域
	ll p, d;
	Qd mul(Qd a, Qd b) {
		Qd ans;
		ans.p = ((a.p*b.p) % mod + (a.d*b.d) % mod*w % mod) % mod;
		ans.d = ((a.p*b.d) % mod + (a.d*b.p) % mod) % mod;
		return ans;
	}
	Qd qmul(Qd n, ll m) {
		Qd ans;
		ans.p = 1; ans.d = 0;
		while (m) {
			if (m & 1) {
				ans = ans.mul(ans, n);
			}
			m >>= 1;
			n = n.mul(n, n);
		}
		return ans;
	}
};

ll qpow(ll n, ll m, int mod) { //快速幂
	ll res = 1;
	while (m) {
		if (m & 1) {
			res = (res*n) % mod;
		}
		m >>= 1;
		n = (n*n) % mod;
	}
	return res;
}

ll getans() { //求解 X
	ll a, t;
	do {
		a = rand() % mod;
		t = a*a - n;
		w = (t + mod) % mod;
	} while (qpow(w, (mod - 1) / 2, mod) + 1 != mod);
	Qd tmp;
	tmp.p = a; tmp.d = 1;
	Qd ans = tmp.qmul(tmp, (mod + 1) / 2);
	return ans.p;
}

int main() {
	scanf("%lld", &n);
	if (qpow(n, (mod - 1) / 2, mod) + 1 == mod) {
		cout << "No solution";
	}
	else {
		ans = getans();
		printf("%lld",ans);
	}
	return 0;
}
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