2020牛客多校第七场A-Social Distancing

最新推荐文章于 2020-11-12 16:23:52 发布

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探讨在固定半径的圆内放置多个点，使任意两点间距离总和最大化的算法。利用数学转换简化距离计算，采用动态规划求解，通过代码实现并分享了解决方案。

Statement

在半径为 $r$ 的圆中塞进 $n$ 个人，使他们两两相距最远，求最远距离
CF原题

Solution

可以用玄学的模拟退火
正常一点，我们考虑 $D P$
$n$ 个点距离和为

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2$

由于减法难维护，我们考虑化成加法

$a-b)^2=a^2+b^2-2ab$

$a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2$

$2(a^2+b^2+c^2)-2ab-2bc-2ac$

$3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2$
…
可以推出

$\,\,\,\,\,\,\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2$

$=n*\sum_{i=1}^nx_i^2+y_i^2-(\sum_{i=1}^nx_i^2+y_i^2)^2$

前面一项可以直接算，后面一项是勾股定理
接下来就是搬砖 $D P$

Code

参考乐正绫大佬

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
const int N=300,M=32;
using namespace std;
struct Infected{
    int x,y,dis;
    Infected(){}
    Infected(int _x,int _y,int _d){x=_x,y=_y,dis=_d;}
    bool friend operator<(Infected a,Infected b){return a.dis<b.dis;}
};
vector<Infected> vec;
int T,n,R,i,j,k,dp[10][N<<1][N<<1],ans[50][50];
int main(){
    for(i=-M;i<=M;++i)for(j=-M;j<=M;++j)vec.push_back(Infected(i,j,i*i+j*j));
    for(i=0;i<=8;++i)for(j=0;j<2*N;++j)for(k=0;k<2*N;++k)dp[i][j][k]=-2e9;
    sort(vec.begin(),vec.end());
    register int s=0;
    dp[0][N][N]=0;
    for(register int r=1;r<=30;++r){
        while(vec[s].dis<=r*r){
            for(i=1;i<=8;++i)for(j=N-r*i;j<=N+r*i;++j)for(k=N-r*i;k<=N+r*i;++k)
                dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],dp[i-1][j-vec[s].x][k-vec[s].y]+vec[s].dis);
            ++s;
        }for(i=1;i<=8;++i)for(j=0;j<N*2;++j)for(k=0;k<N*2;++k)
            if(dp[i][j][k]>0)ans[i][r]=max(ans[i][r],i*dp[i][j][k]-(N-j)*(N-j)-(N-k)*(N-k));
    }scanf("%d",&T);while(T--)scanf("%d%d",&n,&R),printf("%d\n",ans[n][R]);
}