2020牛客多校第六场H-Harmony Pairs（数位DP）

ding_ning123

于 2020-07-28 13:17:40 发布

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分类专栏： 2020牛客暑期多校训练营

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本文深入探讨了数位DP算法，一种高效解决大规模数据问题的方法。通过实例解析，阐述了如何利用状态dp[x][d][l][s]进行搜索，其中x表示搜索位置，d表示前缀位数和的差值，l和s分别反映了B≤N和A≤B的限制条件。文章提供了完整的C++代码实现，包括动态规划的递归函数dfs，展示了如何在10^100级别的数据规模下求解数字位数和的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

在这里插入图片描述

题解

$10^{100}$ 的数据明示算法：数位DP
令状态 $d p [x] [d] [l] [s]$
$x$ :搜到位置
$d$ : $A$ 前面位数和 $- B$ 前面位数和（防负数偏移 $1000$ ）
$l$ :limit,当前位之前 $B$ 是否等于 $N$ ,反映限制 $B≤NB\leq N$
$s$ :当前位之前 $A$ 是否等于 $B$ ,反映限制 $A≤BA\leq B$

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N=110,mod=1e9+7;
using namespace std;
int n,digit[N],dp[N][N*20][2][2];
char s[N];
int dfs(int x,int d,bool l,bool s){
	if(!x) return d>1000;//S(A)>S(B)
	if(~dp[x][d][l][s]) return dp[x][d][l][s];
	int ret=0,lim=l?digit[x]:9;
	for(int i=0;i<=lim;i++)
		for(int j=0;j<=(s?i:9);j++)
			ret=(ret+dfs(x-1,d+j-i,l&(digit[x]==i),s&(i==j)))%mod;
	return dp[x][d][l][s]=ret;		
}int main(){
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	scanf("%s",s),n=strlen(s);
	for(int i=0;i<n;i++) digit[n-i]=s[i]-'0';
	printf("%d\n",dfs(n,1000,1,1));
}