2020牛客多校第八场E-Enigmatic Partition(隔项差分)

最新推荐文章于 2020-08-08 12:08:57 发布

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博客探讨了牛客多校比赛中E题Enigmatic Partition的解决方案。通过分析题意，得出n=a1*b1+a2*b2+a3*b3，利用a1+2=a2+1=a3的关系简化问题，转化为a*m+b2+b3*2的形式。以a=1, m=7为例进行说明。博主指出，可以通过预处理f(n)的前缀和实现O(1)查询，并注意处理数据范围可能超出的情况，避免整除判断带来的复杂性。该题被形容为kuangbin的典型思维挑战题，理解思路后变得简单。" 107589721,7432000,SQLSever数据库管理：从入门到精通的全面指南,"['数据库', 'SQL', 'SQLSever', '安装教程', '学习路线']

Description

在这里插入图片描述

Solution

由题意

$n=a1∗b1+a2∗b2+a3∗b3_\therefore\,\,n=a_1*b_1+a_2*b_2+a_3*b_3$
$a1+2=a2+1=a3_\because\,\,a_1+2=a_2+1=a_3$
$n=a1∗(b1+b2+b3)+b2+b3∗2=a∗m+b2+b3∗2_\therefore\,\,n=a_1*(b_1+b_2+b_3)+b_2+b_3*2=a*m+b_2+b_3*2$

以 $a = 1, m = 7$ 为例

$n$	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
5个3									1233333
4个3							1123333	1223333
3个3					1112333	1122333	1222333
2个3			1111233	1112233	1122233	1222233
1个3	1111123	1111223	1112223	1122223	1222223
$n u m$	1	1	2	2	3	2	2	1	1	0	0	0
差分序列	1	0	1	0	1	-1	0	-1	0	-1	0	0
隔项差分	1	0	0	0	0	-1	-1	0	0	0	0	1
对应位置	am+3	0	0	0	0	(a+1)m+1	(a+1)m+2	0	0	0	0	(a+2)m

所以我们只用在对应位置上加减，最后再还原为原序列即为 $f (n)$
数据范围允许我们预处理出 $f (n)$ 的前缀和， $O (1)$ 查询

Details

$(a + 2) * m$ 等项处理时可能超出 $N$ ,适当扩大内存
为避免判 $a≤Nma\leq \frac{N}{m}$ 时整除与否带来的问题，我们把 $a * m$ 合在一起处理，即for(a=m;a<N;a+=m)

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
const int N=1e5+10;
ll T,cas,l,r,s[N<<1],f[N<<2];
int main()
{
	register int i,m,a;
	for(m=3;m<N;++m)for(a=m;a<N;a+=m) ++f[a+3],++f[a+2*m],--f[a+m+1],--f[a+m+2];
	for(i=3;i<N;++i) f[i]+=f[i-2];
	for(i=1;i<N;++i) f[i]+=f[i-1];
	for(i=1;i<N;++i) s[i]=s[i-1]+f[i];
	scanf("%lld",&T);
	while(T--) scanf("%lld%lld",&l,&r),printf("Case #%d: %lld\n",++cas,s[r]-s[l-1]);
}