【算法大家庭】动态规划算法

目录

🧂1.动态规划思想

🌭2.背包问题思路分析

🍿3.代码实现 

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1.动态规划思想

• 将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
• 适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的

2.背包问题思路分析

每次遍历到的第i个物品,根据w【i】和v【i】来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品,设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量, C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

• 1.v[0][j]=v[i][0]=0
• 2.w[i]>j时，v[i][j]=v[i-1][j]
• 3.j>w[i]时，v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
  • v[i-1][j]：上一个单元格的装入的最大值
  • v[i]：当前商品的价值
  • v[i-1][j-w[i]]：装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值

3.代码实现 

public class KnapsackProblem {
    public static void main(String[] args) {
        //商品重量
        int[] w = {1, 4, 3};
        //商品价值
        int[] val = {1500, 3000, 2000};
        //背包容量
        int m = 4;
        //商品个数
        int n = val.length;

        //表示前n个物品中,能够装入背包容量为m的最大价值
        int[][] v = new int[n + 1][m + 1];

        //方便定位
        int[][] path = new int[n + 1][m + 1];

        //第一列制0
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            v[i][0] = 0;
        }
        //第一行制0
        for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
            v[0][i] = 0;
        }

        /**
         * 根据公式，动态规划处理
         */
        for (int i = 1; i < v.length; i++) {
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
                if (w[i - 1] > j) {
                    v[i][j] = v[i - 1][j];
                } else {
                    if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
                        v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                        //记录
                        path[i][j] = 1;
                    } else {
                        v[i][j] = v[i - 1][j];
                    }
                }
            }
        }

        //查看所有
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            for (int j = 0; j < v[0].length; j++) {
                System.out.print(v[i][j] + "   ");
            }
            System.out.println();
        }

        //定位商品
        int i = path.length-1;
        int j = path[0].length-1;
        while (i > 0 && j > 0) {
            if (path[i][j] == 1) {
                System.out.println("第"+i+"个商品放入到背包");
                j -= w[i - 1];
            }
            i--;
        }
    }
}