12、化学反应扩散系统与水文模拟中的神经网络应用

化学反应扩散系统与水文模拟中的神经网络应用

化学反应扩散系统中的参数共振

在化学反应扩散系统中，耗散化学系统与环境相互作用时，物质的输入和移除并非像理想系统理论中那样均匀或恒定。这种变化通过傅里叶模式展开后，会对系统当前状态产生影响，因此对参数共振进行系统研究十分重要。

以流体表面波为例，垂直振荡产生的表面波就是参数共振打破连续空间对称性的一个典型例子。在反应扩散系统中，参数共振的影响也被广泛研究，例如频率夹带和多相振荡。近期观察到的不涉及固有长度尺度的簇模式，就是化学反应系统中参数共振产生的有趣空间结构。

本文聚焦于Gierer - Meinhardt（GM）模型，这是一个简单的反应扩散模型，包含两个具有不同扩散率的耦合变量或化学物种，它们相互作用会使系统的基本均匀稳态产生图灵不稳定性和霍普夫不稳定性。

GM模型的一维简化形式如下：
[
\begin{cases}
\frac{\partial a}{\partial t} = D\frac{\partial^2 a}{\partial x^2} + \frac{a^2}{b} - a + \sigma \
\frac{\partial b}{\partial t} = \frac{\partial^2 b}{\partial x^2} + \mu(a^2 - b)
\end{cases}
]
其中，变量 (a) 和 (b) 分别是激活剂和抑制剂物种的局部浓度，(\sigma) 是系统中激活剂的进料速率，交叉反应系数和抑制剂的去除速率相同，用 (\mu) 表示。

对该模型的均匀稳态（(a = 1 + \sigma)，(b = (1 + \sigma)^2)）进行线性稳定性分析，结果表明，当 (\mu D \leq (\sqrt{\frac{2}{1 + \sigma}} - 1)^2) 且 (\mu > \frac{1 - \sigma}{1 + \sigma}) 时，基本均匀状态会因图灵不稳定性而失去稳定性。在相图（(\mu) 与 (D) 平面）中，当 (\mu = \mu_{00} = \frac{1 - \sigma}{1 + \sigma}) 以下，霍普夫模式（(k = 0)，(k) 为波数）开始增长。存在一个余维2点，即 (\mu D = (\sqrt{\frac{2}{1 + \sigma}} - 1)^2) 和 (\mu = \frac{1 - \sigma}{1 + \sigma}) 的边界相交处。在相边界 (\mu = \mu_{00}) 上，零增长霍普夫不稳定性的振荡频率为 (\omega_0 = \sqrt{\frac{1 - \sigma}{1 + \sigma}})。

接下来，我们在 (\mu = \mu_{00}) 边界附近进行微扰展开，此时去除速率 (\mu) 具有频率为 (\omega) 的 (O(\epsilon)) 时间调制。我们将 (\mu) 调制为 (\mu = \mu_0(1 + \epsilon \cos(\omega t)))，线性化方程变为：
[
L_0
\begin{pmatrix}
\delta a \
\delta b
\end{pmatrix}
= \epsilon \cos(\omega t)
\begin{pmatrix}
0 & 0 \
2\mu_0(1 + \sigma) & -\mu_0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\delta a \
\delta b
\end{pmatrix}
]
我们将 (\mu_0) 展开为 (\mu_0 = \mu_{00} + \epsilon\mu_{01} + \epsilon^2\mu_{02} + \cdots)。在 (O(1)) 情况下，霍普夫分岔边界 (\mu = \mu_{00}) 处的均匀振荡状态的特征向量为：
[
\begin{pmatrix}
\delta a^{\pm} \
\delta b^{\pm}
\end{pmatrix}
e^{\pm i\omega t} =
\begin{pmatrix}
1 \
\frac{2\mu_{00}(1 + \sigma)}{\mu_{00} \pm i\omega_0}
\end{pmatrix}
e^{\pm i\omega_0 t}
]
其中，线性算子 (L_0) 的形式为：
[
L_0 =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial t} - 1 - \sigma & \frac{1}{(1 + \sigma)^2} \
-2\mu(1 + \sigma) & \frac{\partial}{\partial t} + \mu
\end{pmatrix}
]
由于抑制剂的产生依赖于激活剂的浓度，所以 (\delta a^{\pm}) 和 (\delta b^{\pm}) 存在恒定的相位差。我们将相位差 (\varphi(\mu)) 表示为 (\varphi = \varphi_c + \delta\varphi_0(X, \tau))，其中 (\varphi_c) 是临界值。

当 (\omega = 2\omega_0) 时，在 (O(\epsilon)) 情况下，方程经过处理后会得到一个与 (e^{i\omega_0 t}) 和 (e^{-i\omega_0 t}) 相关的表达式。而当 (\omega \neq 2\omega_0) 时，方程在 (\mu_{01} = 0) 时可解，且 (\delta\varphi) 的时间部分为常数。

在 (O(\epsilon^2)) 处考虑共振情况，当 (\omega \neq 2\omega_0) 时，(O(\epsilon)) 方程的解会包含 (e^{i(\pm\omega_0\pm\omega)}) 项，这会导致在更高阶出现长期项。经过一系列推导，最终得到波数 (k_1) 和 (k_2) 的表达式：
[
k_1 = \pm \sqrt{\frac{\mu_{00}^3}{8[\mu_{00} - (\omega_0 - \omega)^2]} \times [1 \pm (1 + 4(\omega_0 - \omega))^{\frac{1}{2}}]}
]
[
k_2 = \pm \frac{\mu_{00}^3(\omega_0 + \omega)}{4[\mu_{00} - (\omega_0 + \omega)^2]} \times \sqrt{\frac{\mu_{00}^3}{8[(\omega_0 + \omega)^2 - \mu_{00}]} \times [1 \pm (1 + 4(\omega_0 + \omega))^{\frac{1}{2}}]}
]

为了更清晰地展示系统的稳定性情况，我们可以用mermaid绘制一个简单的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[分析GM模型稳态];
    B --> C{是否满足图灵不稳定性条件};
    C -- 是 --> D[图灵不稳定性];
    C -- 否 --> E{是否满足霍普夫不稳定性条件};
    E -- 是 --> F[霍普夫不稳定性];
    E -- 否 --> G[稳定状态];
    D --> H[考虑参数调制];
    F --> H;
    H --> I[进行微扰展开];
    I --> J[求解不同阶方程];
    J --> K[计算波数];
    K --> L[结束];
    G --> L;

水文模拟中的神经网络应用

在水文领域，降雨 - 径流（R - R）转换是一个极具挑战性的问题，由于其高度的时空变异性以及变量之间强烈的非线性相互联系，传统模型在处理这类问题时面临诸多困难。因此，人工神经网络（ANN）成为了研究的热点。

ANN在水文应用中主要用于预测和数据生成。数据生成对于水资源的管理和干旱期的监测至关重要。然而，目前对于每日尺度的径流数据模拟，尤其是在仅以降雨率作为唯一测量值的情况下，研究还不够深入。

本文旨在研究前馈多层感知器（MLP）和Jordan递归神经网络（JNN）在每日尺度R - R转换模拟中的性能，特别是在干旱期，水资源的管理和控制尤为重要。

问题描述

将入流转化为径流数据需要大量信息，如降水、蒸散、温度、土壤湿度等。当某些输入序列有限或缺失时，概念模型往往难以准确描述R - R过程的复杂非线性动态，而经验模型则更为可靠。

在每日尺度的R - R建模中，降雨输入序列中长串的零值是一个独特的挑战。一方面，这些零值可能被视为“矛盾”信息；另一方面，它们具有较高的测量可靠性，因为它们很可能不受偶然误差的影响。因此，寻找一种能够处理长串无雨日并再现流域“系统记忆”的ANN程序是关键问题。

程序描述

• 参考概念模型分析 ：为了测试ANN对R - R平均每日数据的建模能力，首先让它们重现一个简单的单水库概念线性模型的输出。概念径流值通过受控实验得到，输入降水被视为有效降雨，直接用于计算每日径流。
  瞬时径流值的计算公式为：
  [
  Q(t) = Q(0) \cdot e^{-\beta \cdot t} + q_{e,j}(1 - e^{-\beta \cdot t})
  ]
  其中：

  • (Q(t)) 是瞬时计算的径流值；
  • (Q(0)) 是在考虑区间开始时计算的初始瞬时径流值；
  • (q_{e,j}) 是恒定的每日流量，由平均每日降雨强度和集水区面积的乘积给出；
  • (\beta) 是模型参数；
  • (t) 是时间，(t \in (0, \Delta t))，(\Delta t) 是考虑的时间间隔；
  • (j) 是天数的索引，(j \in (1, N))，(N) 是考虑的总天数。
    平均每日径流值 (\langle Q \rangle) 的计算公式为：
    [
    \langle Q \rangle = \frac{Q(0)}{\beta \cdot \Delta t}(1 - e^{-\beta \cdot \Delta t}) + q_{e,j} - \frac{q_{e,j}}{\beta \cdot \Delta t}(1 - e^{-\beta \cdot \Delta t})
    ]

• 网络方法

  • MLP和抽头延迟线（TDL） ：采用标准的两层前馈神经网络，使用Sigmoid激活函数，并通过共轭梯度优化进行训练。为了捕捉物理系统的变异性，需要向ANN输入过去的降雨测量值，这可以通过抽头延迟线（TDL）方法实现，即将信号 (x(t)) 的最后 (m) 个值 (x(t), x(t - \tau), \cdots, x(t - (m - 1)\tau)) 同时输入到网络中。
  • MLP结果：受控实验 ：选择具有六个输入信息（特征）的前馈MLP进行模拟，输入特征包括当前降水值、两个包含三个先前降水的抽头延迟线和两个网络计算的径流数据。在隐藏层引入三个节点，得到残差的均方误差（MSE）为 (1.068 \times 10^{-3})。然而，MLP在模拟中出现了连续和持久的平台，无法再现目标的行为。
  • Jordan神经网络（JNN） ：递归神经网络（RNN）能够模拟系统的记忆或惯性，JNN是其中一种简化模型，通过更新规则 (X_i(t) = \alpha \cdot X_i(t - 1) + Y_i(t - 1)) 实现递归，其中 (X_i) 是附加向量 (X) 的第 (i) 个分量，(Y_i) 是先前的输出，(\alpha) 是由用户选择的强度系数。
  • JNN结果：受控实验 ：采用两种不同的方法，一种是具有“降雨记忆效应”，其中 (Y_i) 是降雨数据，强度系数为 (\alpha_1)；另一种是具有径流记忆效应，强度系数为 (\alpha_2)。引入具有三个特征的JNN，输入包括降雨和径流记忆效应以及先前的降雨数据。在隐藏层引入三个节点，得到的MSE为 (4.752 \times 10^{-5})，明显优于MLP。

• 物理背景分析 ：在实际数据模拟中，“降雨记忆效应”起着至关重要的作用。模拟时考虑了降雨、径流记忆效应、两个先前降雨数据的抽头延迟线和季节性（当前的儒略日）。对于阿根廷河和因佩罗河，在隐藏层引入四个节点，分别得到了较好的MSE值。

下面用表格对比MLP和JNN的性能：
| 网络类型 | 输入特征 | 隐藏层节点数 | MSE | 模拟效果 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| MLP | 当前降水值、两个包含三个先前降水的抽头延迟线和两个网络计算的径流数据 | 3 | (1.068 \times 10^{-3}) | 出现连续和持久的平台，无法再现目标行为 |
| JNN | 降雨和径流记忆效应、先前的降雨数据 | 3 | (4.752 \times 10^{-5}) | 能较好地再现“径流衰减曲线” |

综上所述，在化学反应扩散系统中，通过对GM模型的研究，揭示了参数共振在霍普夫 - 图灵不稳定性边界附近的影响，计算出了新的波数，为理解系统的不稳定性提供了理论依据。在水文模拟中，JNN在处理R - R转换问题上表现出明显的优势，尤其是在考虑降雨记忆效应时，能够更准确地再现径流数据，为水资源的管理和控制提供了有力的工具。

化学反应扩散系统与水文模拟中的神经网络应用（续）

化学反应扩散系统参数共振的深入分析

非线性项的引入

前面的分析主要集中在线性理论部分，为了更全面地理解系统的行为，我们将理论扩展到包含非线性项。通过将浓度尺度的原点移到基本均匀的固定点，可将GM模型重写为：
[
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial t} - D \nabla^2 - 1 - \sigma & \frac{1}{(1 + \sigma)^2} \
-2\mu(1 + \sigma) & \frac{\partial}{\partial t} - \nabla^2 + \mu
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a \
b
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-b \frac{\partial a}{\partial t} + bD\nabla^2a + a^2 - ab \
\mu a^2
\end{pmatrix}
]
将变量展开为 (a = \epsilon^{\frac{1}{2}} a_0 + \epsilon a_1 + \epsilon^{\frac{3}{2}} a_2 + \cdots) 和 (b = \epsilon^{\frac{1}{2}} b_0 + \epsilon b_1 + \epsilon^{\frac{3}{2}} b_2 + \cdots)，参数展开为 (\mu = \mu_0(1 + \epsilon^{\frac{1}{2}} \cos \omega t))，(\mu_0 = \mu_{00} + \epsilon^{\frac{1}{2}} \mu_{01} + \epsilon \mu_{02} + \cdots)，并引入多尺度 (x = x + \epsilon^{\frac{1}{2}} X)，(t = t + \epsilon^{\frac{1}{2}} \tau) 以及大空间和时间尺度上的附加相位变化。

在 (O(\epsilon^{\frac{1}{2}})) 和 (O(\epsilon)) 时，非线性部分不会引入额外的长期项，理论与线性分析相同。但在 (O(\epsilon^{\frac{3}{2}})) 时，非线性部分产生的长期项会使所得的相位方程变为非线性，形式如下：
[
-\frac{\partial^2 \theta}{\partial X^2} = C_1 + C_2 \theta + C_3 \theta^2
]
其中 (C_1)，(C_2) 和 (C_3) 是复数。(\theta^2) 项源于非线性项 (a_1b_0)，其他非线性项会改变 (C_1) 和 (C_2) 的线性分析表达式。该方程与线性理论中产生波数的情况不同，在没有 (C_3) 且 (C_2) 不为零时，可以得到空间相位调制。

系统特性总结

从线性理论可知，在特定条件下存在两种共存状态：一种是均匀振荡状态，另一种是行波状态，其波数在前面已明确给出。这种空间不稳定性与图灵不稳定性不同，波数表达式不涉及扩散常数，且除非 (\mu_{00} = 0)（但这要求 (\sigma = 1)，会使基本霍普夫不稳定性消失），波数不会为零。

外力对于控制靠近不稳定性边界产生的空间不稳定性至关重要。即使没有参数调制，只要稍微偏离不稳定性边界 (\mu = \mu_{00}) 就会产生空间不稳定性。若不希望出现这种情况，可以通过参数调制（频率不为 (\omega = \omega_0)）来消除。

非线性通常会抑制新空间长度尺度的产生，但在不稳定性边界附近，这种虚假的不稳定性可能较为敏感。在理论的 (O(\epsilon)) 部分（线性/非线性），无论是否存在外力项（(\vert C_2 \vert = 0)），只要偏离不稳定性边界，系统的振荡频率就可能改变。在相边界 (\mu = \mu_{00}) 上，外力对于产生时间不稳定性是必要的，特定频率 (\omega = 2\omega_0) 对于控制情况起着关键作用，只有在特定频率的外力作用下，才能更好地调整 (\mu_{01}) 来控制系统的振荡频率。

下面用表格总结系统不同状态下的特性：
| 状态 | 波数特性 | 不稳定性条件 | 频率特性 | 外力作用 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 线性理论共存状态 | 明确给出波数表达式，与图灵不稳定性波数不同 | 靠近霍普夫 - 图灵不稳定性边界 | 可能改变 | 控制空间不稳定性 |
| 非线性情况 | 一般不产生线性理论中的波数，可能有空间相位调制 | 非线性项在 (O(\epsilon^{\frac{3}{2}})) 产生影响 | 可能改变 | 特定频率控制振荡频率 |

水文模拟中神经网络应用的进一步探讨

不同网络性能对比分析

在前面的研究中，我们已经看到MLP和JNN在模拟R - R转换中的不同表现。MLP在模拟中出现连续和持久的平台，无法准确再现目标行为，而JNN在考虑降雨记忆效应时，能够显著提高模拟精度。

为了更直观地展示两者的差异，我们可以用mermaid绘制一个对比流程图：

graph LR;
    A[输入降雨和径流数据] --> B{选择网络类型};
    B -- MLP --> C[使用TDL输入数据];
    B -- JNN --> D[考虑降雨和径流记忆效应];
    C --> E[训练MLP网络];
    D --> F[训练JNN网络];
    E --> G[得到MLP模拟结果];
    F --> H[得到JNN模拟结果];
    G --> I[分析MLP误差（MSE较大）];
    H --> J[分析JNN误差（MSE较小）]; 

从流程图可以清晰地看出，MLP主要依赖TDL输入数据，而JNN通过引入记忆效应，能够更好地捕捉系统的动态变化。

实际应用中的考虑因素

在实际应用中，除了网络类型的选择，还需要考虑其他因素。例如，在选择输入特征时，需要根据具体的流域情况和数据可用性进行调整。在本文的研究中，考虑了当前降水值、先前降水、网络计算的径流数据、降雨和径流记忆效应以及季节性等因素。

另外，参数的选择也非常重要。在JNN中，强度系数 (\alpha) 的选择会影响网络的性能。在训练过程中，可以使用标准梯度算法来搜索合适的 (\alpha) 值。

同时，数据的质量和数量也会对模拟结果产生影响。长串的零值降雨数据虽然具有较高的测量可靠性，但也给网络的训练带来了挑战。因此，在数据预处理阶段，需要对数据进行合理的清洗和处理，以提高网络的训练效果。

总结与展望

通过对化学反应扩散系统和水文模拟中神经网络应用的研究，我们得到了以下重要结论：
- 在化学反应扩散系统中，对GM模型的研究揭示了参数共振在霍普夫 - 图灵不稳定性边界附近的复杂影响。线性理论和非线性理论相结合，为理解系统的不稳定性和波数产生提供了全面的理论框架。
- 在水文模拟中，JNN在处理R - R转换问题上表现出明显优势，尤其是考虑降雨记忆效应时，能够更准确地再现径流数据。这为水资源的管理和控制提供了有效的工具。

未来的研究可以从以下几个方面展开：
- 在化学反应扩散系统方面，可以进一步研究更复杂的模型和边界条件，探索参数共振在不同环境下的应用。
- 在水文模拟方面，可以尝试结合更多的物理信息和机器学习技术，提高网络的泛化能力和预测精度。同时，可以扩大研究范围，应用于更大规模的流域和不同的气候条件。

总之，这两个领域的研究都具有重要的理论和实际意义，未来的研究有望为相关领域的发展提供更多的支持和指导。