算法核心问题解析与证明

1、考虑以下陈述：“随着机器速度加快和内存成本降低，算法变得不那么重要了。”你认为这个陈述是对还是错？为什么？

这个陈述是错误的。虽然机器速度加快和内存成本降低能在一定程度上提升程序性能，但算法的优劣对程序运行效率的影响更为关键。

算法的重要性体现在其可扩展性上，当输入规模增大时，优秀算法和低效算法在运行时间上的差距会显著增大，这种差异会轻易超越语言或硬件选择带来的影响。

即使硬件性能提升，低效算法在处理大规模问题时仍可能出现性能瓶颈，而高效算法能确保程序在不同规模问题下都能保持较好的性能。

因此，算法的重要性不会因机器速度和内存成本的变化而降低。

2、找出一种方法来检查两个字符串是否为变位词（例如“debit card”和“bad credit”）。你认为你的解决方案扩展性如何？你能想出一个扩展性很差的简单解决方案吗？

• 一种简单且扩展性较好的解决方案是对每个字符串中的字符进行排序，然后比较结果。（理论上，使用 collections.Counter 计算字符频率，扩展性会更好。）

• 扩展性很差的简单解决方案是将一个字符串的所有可能排列与另一个字符串进行比较，这种解决方案非常差。

3、对数可以有不同的底数，但算法研究者通常并不关心。为了明白原因，考虑等式 logb n = (loga n)/(loga b)。首先，你能明白为什么这个等式成立吗？其次，为什么这意味着我们通常不必担心底数呢？

根据定义，$ b^{\log_b n} = n $。对等式两边取以 $ a $ 为底的对数，得到：

$$
\log_a (b^{\log_b n}) = \log_a n
$$

根据对数运算法则 $ \log_a (x^y) = y \log_a x $，可将其写为：

$$
(\log_a b)(\log_b n) = \log_a n
$$

进而得到：

$$
\log_b n = \frac{\log_a n}{\log_a b}
$$

该结果表明，$ \log_b n $ 和 $ \log_a n $ 之间的差异只是一个常数因子 $ \log_a b $，在使用渐近表示法时这个常数因子会被忽略，所以通常不必担心底数。

4、研究或推测 Python 列表各种操作（如索引、元素赋值、反转、追加和插入）的渐近复杂度。在链表实现中这些复杂度会有何不同？例如，list.extend 操作又如何？

以下是 Python 列表和链表中常见操作的渐近复杂度分析：

1. Python 列表

• 索引 ：时间复杂度为 O(1)，因为可以通过下标直接访问元素。
• 元素赋值 ：时间复杂度为 O(1)，直接通过下标定位并赋值。
• 反转 ：时间复杂度为 O(n)，需要遍历列表元素进行反转操作。
• 追加（append） ：平均时间复杂度为 O(1)，在列表末尾添加元素通常很快，但在列表需要扩容时会有额外开销。
• 插入（insert） ：时间复杂度为 O(n)，因为插入元素后，后续元素需要依次后移。
• 扩展（extend） ：时间复杂度为 O(k)，其中 k 是要扩展的元素数量。

2. 链表实现

• 索引 ：时间复杂度为 O(n)，需要从头节点开始遍历链表找到指定位置的元素。
• 元素赋值 ：时间复杂度为 O(n)，同样需要先遍历找到元素再进行赋值。
• 反转 ：时间复杂度为 O(n)，需要遍历链表并修改节点指针。
• 追加（append） ：时间复杂度为 O(1)，如果维护尾指针，可直接在链表末尾添加新节点。
• 插入（insert） ：时间复杂度为 O(n)，需要先找到插入位置，然后修改节点指针。
• 扩展（extend） ：时间复杂度为 O(k)，需要遍历要扩展的元素并依次添加到链表末尾。

总体而言

Python 列表在随机访问（索引和元素赋值）上具有优势，而链表在追加操作上更稳定，插入操作两者复杂度相同但链表实现逻辑不同。

5、设T是一个至少有三个节点的任意有根树，其中每个内部节点恰好有两个子节点。如果T有n个叶子节点，那么它有多少个内部节点？

T有n - 1个内部节点。

6、前k个2的非负整数次幂之和为2^(k + 1) – 1。证明此性质可让你用二进制数表示任何正整数。

• 二进制编码能显示哪些2的幂包含在一个和中，且每个幂仅包含一次。

• 假设前 $ k $ 个2的幂（或二进制位）能让我们表示到 $ 2^k - 1 $ 的任何数（归纳假设，显然 $ k = 1 $ 时成立）。

• 利用此性质可知，增加一个新的2的幂（即多一位二进制位）能让我们表示到 $ 2^{k+1} - 1 $ 的任何数。

• 例如：

• 前3个2的幂：$ 1 + 2 + 4 = 7 = 2^3 - 1 $，用3位二进制数能表示 $ 0 $ 到 $ 7 $；

• 增加一个2的幂 $ 8 $ 后，就能表示到 $ 2^4 - 1 = 15 $。