爬山越陡越累的原因：导数在起作用（一文讲透导数）

1. 引子：为什么爬山越陡越累

如图 1 所示的场景，爬山时大家会有这样的共同感受：走平路不累，但是坡越陡爬起来越累，为什么会这样呢？说起来很平常，但其中有导数的内涵。

想象一个人在爬山，把他所处的高度随着爬山时间的变化看作一个函数。一开始，山路比较平缓，上升的速度（实际上就是这个函数的导数）比较慢，感觉不累。这时候就相当于高度上升的速度较小。然后，到了一段比较陡峭的山坡，上升的速度变快，会感觉比较吃力，这就相当于高度上升的速度增大了。速度更快，表明单位时间内上升的高度更多，爬山需要消耗的能量也更多。最后，到达山顶，就不再继续上升了，此时上升的速度（也即导数）为 0。横坐标表示时间，纵坐标表示高度。折线的斜率就代表了高度变化的速度。陡峭的部分斜率（即导数）大，上升速度快；平缓的部分斜率小，上升速度也慢。

图 1 爬山为什么坡越陡爬起来越累

2. 进阶：通俗理解导数

“导数” 一词，可理解为 “引导函数发展方向的数”。也就是说，在函数的某个点，随着自变量的值的变化，因变量的值会发生什么样的变化。注意，前提是在具体的某个点，这就需要用动态和微观的观点来看待这个概念。更多有关微积分的详细、有趣的讲解，可参见《人人可懂的微积分 —— 用动态、微观、累加的观点来看待微积分》。

图 2 《人人可懂的微积分 —— 用动态、微观、累加的观点来看待微积分》

那究竟什么是导数呢？能不能更为形象一点说明？我的理解是，在函数图形中特定的点上的导数代表的是函数的值（即因变量）在这个点随自变量前进最快的方向，从而导向最快的发展节奏。这就如图 3 所示。

图 3 导数的几何意义

在几何意义上来讲，导数方向上通过当前点的线是函数在当前点上的切线，导数的值为切线的斜率（注意不是切线，而是切线的斜率）。

我们来学会用符号表达导数。除了用 “${}^{\prime }$” 表示导数外，还可以用 “$\frac{dy}{dx}$” 来表示导数。“$dy$” 和 “$dx$” 是微分上的用法，其含义分别表示$y$值和$x$值沿切线的微小变化。这种微小的变化是指$x$值的变化趋近于 0。这种含义用公式表述如下：

$f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

学习点拨：注意结合图 4 来理解$dy$与$\Delta y$的差别。很显然，$\Delta y$是指$y$沿函数的变化值，$dy$是指$y$沿切线的变化值。

怎么理解导数公式背后的含义呢？用图结合意义来理解最为深刻。

图 4 导数的含义示意图

${\lim }_{\Delta x\to 0}f(x)$要表达的运算就是当$x$的变化趋近于 0 时，求$f(x)$的值。$x$的变化用$\Delta x$表示，“$\Delta$” 表示变化，念 “逮它”。大家可别太纠结于名称的这些字符怎么念，这里给出的念法只是谐音，仅用于学习参考。觉得有意思就当作有趣味的学习即可。

学习点拨：什么符号表示什么含义，通常有约定俗成的做法，这样大家理解起来能够达成共识。数学中有很多约定俗成的做法，如：用 “$\Delta$” 表示变化，用$f(x)$表示函数。$f$是 “function” 首字母，这个英文单词就是 “函数、功能” 的意思。

当$\Delta x\to 0$时，表示$x$值出现微小的变化，记为 “$dx$”；跟随这种变化，$y$值也会出现微小的变化，记为 “$dy$”。注意，$y$值的微小变化是跟随$\Delta x\to 0$产生的，而不是无缘无故产生的。同样，要用动态、微观的观点来看待这件事。有了这些观点，导数的含义公式和图 4 就比较好理解了。

从图 4 来看，“$dy$” 和 “$\Delta y$” 长短是有区别的，但是在$\Delta x\to 0$时，也即 “无限逼近” 时，我们认为在当前这个点，$\Delta x$就等同于$dx$（从图 4 可以明显看出），$\Delta y$就等同于$dy$。这就是从 “微观的角度” 和 “动态的观点” 来看待和解决问题的内涵。但是，这些必须建立在函数可导的基础上。

答疑解惑：学习导数的定义时，经常有人会碰到一些困惑，下面做出解答。如果确实没看懂，后续学习更多知识（主要是 “泰勒公式”）可再回过头来理解。学生问：不是说 “$dy$” 和 “$\Delta y$” 长短是有区别的吗？那怎么又可以等同于呢？老师答：“$dy$” 和 “$\Delta y$” 的长度相差多少呢？可以从图 4 明显看出，相差的值为$\Delta y-dy$。当$\Delta x\to 0$时，$\Delta y-dy$是比$dy$更为高阶的无穷小，故可以认为$\Delta y$就等同于$dy$。$\Delta y-dy$怎么会是比$dy$更为高阶的无穷小呢？后续我们学习了泰勒公式后再来详细解释。为了让大家不至于过于迷茫，下面先用一个例子来做例证解释。如果函数为：$f(x)=x^2$通过后续学习，我们可以知道：$(x^2{)}^{\prime }=2x$而$dy=f^{\prime }(x)dx$、$dx=\Delta x$，故有：$\Delta y-dy=f(x+\Delta x)-f(x)-dy=(x+\Delta x{)}^2-x^2-2xdx$$=x^2+2x\Delta x+(\Delta x{)}^2-x^2-2x\Delta x=(\Delta x{)}^2$从而，可得：${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y-dy}{dy}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{(\Delta x{)}^2}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta x=0$故此时，$\Delta y-dy$是比$dy$更为高阶的无穷小。

3. 透彻：导数就是某点切线的斜率

通过图形理解导数的内涵，实质上就是说某点的导数就是该点切线的斜率，就是在该点时的变化率。变化率又说明了什么呢？说明在该点，以导数值来看，自变量每变化一个单位，因变量会跟着变化多少个单位。如：

${\frac{dy}{dx}|}_{x=1}=3$

这表明当在$[x,y]=[1,f(1)]$这个点，$x$的值每变大 1，$y$的值会跟着变大 3；$x$的值每变小 1，$y$的值会跟着变小 3。那如果导数值为 0，则不论$x$的值变化多少，$y$的值总是固定不变。

如果导数值大于 0，表明随$x$值的增大，$y$值会增大，此时的函数是一个单调递增函数。如果导数值小于 0，表明随$x$值的增大，$y$值会减少，此时的函数是一个单调递减函数。