6.进入线性代数的奇妙世界:向量的减法

本文解析了向量加减法的基本概念与图形表示方法,介绍了如何通过平行四边形法则来理解向量的加法与减法运算,并提供了一句话记忆法帮助读者更好地掌握这些知识点。

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        两个向量相减,结果仍然是一个向量。那么在图形上,结果是怎样的一个向量呢?这个结果向量是两个向量组成的平行四边形的另外一条对角线。

      向量减法的计算规则就是将两个向量对应维度的值相减。假定 ,则向量的减法运算如下:

      仍然使用上节中的例子中的向量a 和向量b

       , ,则:

      减法计算的图示如图6-1所示。结合上述计算过程及图6-1,可以理解为将向量b 先反向,再相加,结果是处于x 轴上的向量[-2,0]。可以继续将向量[-2,0]向右平移3,再向上平移2,即可得到一个向量,这个向量把向量a 和向量b 的箭头连接了起来。

图6-1 向量的减法

        综合向量的加法和减法,把加法运算和减法运算的结果做到一个图里,如图6-2所示,可看到结果是平行四边形的2条对角线。总结起来,给出向量的加法、减法运算的一句话记忆法门:“都是平行四边形的对角线,相减连接两箭头,相加为另一条对角线”。

图6-2 向量的加法和减法

      很多书上将向量的加法和减法总结为三角形法则或平行四边形法则,我发现讲解后总是很容易让人混淆不清。最好的办法就是在脑海里有图6-2所示的图,并结合前述给出的一句话记忆法门来理解。

      那么,可能还有2个疑问。一个疑问是向量相减的结果向量不是在x 轴上吗?怎么就平移上来成了平行四边形的对角线了呢?其实,前面的连载已经讲进,向量之间只要方向相同、模长相等,就认为它们是同一个向量。详见(3.进入线性代数的奇妙世界:用图形来表示向量)。

      另一个疑问是相减的结果向量的模在图形中好理解,但是它的方向到底是谁指向谁呢?应当是由减号右边向量的箭头位置指向减号左边向量的箭头位置,即由向量b 的箭头位置指向向量a​​​​​​​ ​​​​​​​ 的箭头位置。

      考虑到向量的减法用Python程序实现比较简单,也就直接使用“-”对一维数组进行计算即可,这里不再重复列出计算及作图的程序代码。

      如果说向量的加减法较为简单的话,乘法会相对复杂一点,下回将讲解向量的乘法。

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