一句话学会复合函数的求导：一导到底

什么是复合函数？复合函数就是函数的函数，中间通过别的变量来表达。例如：

$f(x)=u(v(x))$

$f(x)$、$v(x)$都是自变量为$x$的函数，但$u(v(x))$的自变量是$v(x)$。显然，$u(v(x))$通过$u$这个变量来表达，即：

$f(x)=u(v),v=v(x)$

故$u(v(x))$是复合函数。复合函数的求导法则如下：

$f^{\prime }(x)=(u(v(x)){)}^{\prime }=u^{\prime }(v(x))v^{\prime }(x)$
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学习点拨：有些人看到上面这个公式有点懵，觉得有点复杂。其实，这个公式用起来很简单。请记住我说的诀窍 —— 复合函数的求导法则就是要 “一导到底”。如果还是不理解，可以看下面的计算示例来加深理解。

例：求导数

求函数$f(x)=\ln (x^2+1)$的导数。

设$u(v(x))=\ln (x^2+1)$，$v(x)=x^2+1$，则：

$u(v(x))=\ln (v(x))$

进一步计算，可得：

$f^{\prime }(x)=(u(v(x)){)}^{\prime }=u^{\prime }(v(x))v^{\prime }(x)=\frac{1}{v(x)}{v}^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1{)}^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$

如果用导数的另一种表示方法，也可表示为：

$f^{\prime }(x)=\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{df}{du}\times \frac{du}{dv}\times \frac{dv}{dx}$

用这种表示方法看起来会更为形象，因为在上述公式的乘法中，$du$作为分母和分子同时出现时可以约掉，$dv$亦是如此，这更为透彻的表达了 “一导到底” 的内涵要义。

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