彻底弄懂如何用导数求函数极值点

首先，要用导数来求函数的极值点，要求函数是可导的。为什么可以用导数求函数$f(x)$的极值呢？因为当$f^{\prime }(x)=0$时，表明在当前点，$f(x)$随 x 的变化速度为 0，说明当前点很可能是一个极大值或极小值。为什么说是可能是极值，而不是一定是呢？举个反例，$f(x)=3$，这个函数的图形是一条平行于 x 轴的直线，其导数在任意点处均为 0。因此，在极值点处，函数的导数必为 0；但导数为 0，当前点不一定是在极值点。那怎么判断当前点是极值点呢？除了当前点的一阶导数为 0 外，还要看当前点左边和右边附近的点，如果左边和右边附近点的一阶导数值异号，说明当前点是极值点。

其次，如果函数不可导则应在可导的函数区间进行观察。如，对于图 2-5 所示的函数$y=|x|$，明显 [0,0] 就是极值点。在可导的区间里，在 x=0 的左边，一阶导数值为负数$y^{\prime }=-1$；在 x=0 的右边，一阶导数值为正数$y^{\prime }=1$；两者异号。
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例：求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的极值点。

这个函数的图形如图 1 所示。可见，该图形有一个极大值，一个极小值。

$f^{\prime }(x)=(x^3-3x^2+2{)}^{\prime }=3x^2-6x$

图 1 $f(x)=x^3-3x^2+2$的图形

学习点拨：注意区分极值与最值。如果函数存在极大值，极大值可能有多个，通常多个极大值中最大的那个就是最大值，但也不一定。如图 1 的例子就是一个反例，极大值只有一个，但在$x>2$的情况下，函数值 y 随 x 的值变大而变大，函数值会往$+\infty$方向发展。类似的，函数如果存在极小值，极小值可能有多个，通常多个极小值中最小的那个就是最小值，但也不一定。如图 1 的例子就是一个反例，极小值只有一个，但在$x<0$的情况下，函数值 y 随 x 的值变小而变小，函数值会一直往$-\infty$方向发展。总之，从图上来理解，极大值就是一个个的峰顶，极小值就是一个个的谷底，最小值就是值域里函数最小的值，最大值就是值域里函数最大的值。

设$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=0$，可解得：

$x_1=0,x_2=2$

将这两个解代入$f(x)$，可得两个点 [0,2] 和 [2,-2]。以这 2 个点作为极大值、极小值的考察对象。结合图可马上看出，极大值点为 [0,2]，极小值点为 [2,-2]。但如果函数的图形不那么好得到呢？那就要考察极值点附近的一阶导数值的情况。

在$x_1=0$的左边，即$x<0$的情况下：

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x>0$

如果看不准，可代入一个$x<0$的值，如$x=-0.5$，可计算得到$f^{\prime }(x)$的一个示例$f^{\prime }(-0.5)=3.75$，会发现此时$f^{\prime }(x)>0$，即可认为在$x<0$的情况下$f^{\prime }(x)>0$。$f^{\prime }(x)>0$又说明了什么？说明此时$f(x)$是单调递增的，随着$x$值的增大，$f(x)$的值也会增大，就象人在爬一个山坡。

同理，在$x_1=0$的右边一点，即$0<x<2$这个区间里：

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x<0$

这又说明了什么？说明此时$f(x)$是单调递减的，随着$x$值的增大，$f(x)$的值会减少，就象人在下一个山坡。

综上，在 [0,2] 这个点的两边，左边随着$x$值的增大，人在爬山坡；右边随着$x$值的增大，人在下山坡；显然可以认为 [0,2] 这个点就是山顶，也就是极大值点。
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类似的，在极小值点的左边近邻点必有$f^{\prime }(x_{左})<0$，右边近邻点必有$f^{\prime }(x_{右})>0$。也就是说，在 [2,-2] 这个点的两边，左边随着$x$值的增大，人在下山坡；右边随着$x$值的增大，人在爬山坡；显然可以认为 [2,-2] 这个点就是谷底，也就是极小值点。