8.进入线性代数的奇妙世界：向量的乘法之点积

    向量的点积又称为点乘、内积，计算起来还是简单，但是一定要深刻理解其背后的几何意义，并进一步学会应用。那就先来看怎么计算。

    向量的点积用运算符“·”，计算的结果两个向量对应位置的维度值相乘再求和。计算公式如下：

     怎么理解∑（念“希格码”）这个运算符号呢？这个运算符号表示求和，下标表示求和表达式中变量的起始值，上标表示求和表达式中变量的结束值，这个变量也可以是求和表达式中的元素下标、上标。如：

    从向量点积的计算公式来看，计算结果是一个值，即一个标量，并不是一个向量。怎么就成了标量了呢？来看图8-1.

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图8-1 向量的点积运算

       不论在多少维空间下，以下向量点积计算的公式均成立：

 

       公式中，| | 表示模。从图8-1可以看出，可以是向量a 在向量b 上的投影acosθ 再乘以向量b 的模|b| ，也可以是向量b 在向量a 上的投影bcosθ 再乘以向量a 的模|a| 。

       问题是点积的结果怎么就变成了abcosθ 了呢？来看向量的减法的图形，如图8-2所示。

图8-2 推导点积计算公式用到的向量三角形

       根据余弦定理，有：

       以二维向量空间中的计算为例，假定a=a1,a2 ，b=b1,b2 ，则有：

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       因此，可以得到：

        从而，得到：

       上述推导过程，在任意维向量空间中均适用。

       下一节再来接着讲讲怎么应用向量的点积。