48、局部可逆多元多项式矩阵解读

局部可逆多元多项式矩阵解读

1. 引言

多元多项式矩阵在线性多维系统理论中起着基础性作用，在电路、系统、控制、信号处理以及多维卷积码理论等众多领域有着广泛应用。其中，具有逆的矩阵尤为重要，因为多维系统中的许多问题可表述为多元多项式环上的有限生成模。

在描述多项式矩阵结构时，会出现三种素性概念：零素（ZP）、次素（MP）和左因子素（LFP）。已知只有零素矩阵有逆。本文引入了一类新的矩形零素多元多项式矩阵，并推导其逆。虽然已有使用格罗布纳基技术、插值和傅里叶变换等方法来求零素矩阵的逆，但在涉及多维输入 - 输出变换的许多应用设计中，人们可自由选择变换矩阵，因此希望能选择满足所需素性的矩阵。本文方法可实现可逆多维变换的显式构造。

2. 预备知识

• 多项式环与矩阵定义 ：设 (R = F_q [z_1, \ldots, z_m]) 是有限域 (F)（含 (q) 个元素）上 (m) 个变量的多项式环。(G(z) \in R^{k\times n}) 是一个矩形多项式矩阵，有 (k) 行 (n) 列（(k < n)），元素属于 (R)，用 (z) 表示 (m) 个变量 (z_1, \ldots, z_m)。
• 素性定义 ：
  • 左因子素（LFP） ：若 (G(z)) 分解为 (G(z) = T (z)G_1(z))，其中 (T (z) \in R^{k\times k})，(G_1(z) \in R^{k\times n})，且 (T (z)) 的行列式是 (R) 中的单位元，则 (G(z