46、单变量和双变量交错多项式的谱解释

单变量和双变量交错多项式的谱解释

1. 定义与符号

• 布尔函数与平坦谱 ：布尔函数 (p(x): GF(2)^n \to GF(2)) 为弯曲函数当且仅当 (P = 2^{-n/2}(\bigotimes_{i = 0}^{n - 1}H)(-1)^{p(x)}) 具有平坦谱，即对于所有 (k \in GF(2)^n)，(\vert P_k\vert = 1)。对于二次函数，可关联一个简单无向 (n) 顶点图，当图的 (n \times n) 邻接矩阵 (\Gamma) 在模 2 下具有最大秩时，能得到平坦谱。
• 平坦谱数量研究 ：研究函数关于 ({I, H, N}^n) 及其子集（如 ({H, N}^n) 和 ({I, H}^n)）的平坦谱数量。二次布尔函数关于 ({I, H, N}^n) 中的变换具有平坦谱，当且仅当其邻接矩阵 (\Gamma) 经过特定修改后在模 2 下具有最大秩，修改规则如下：
  • 对于 (i \in R_I)，删除 (\Gamma) 的第 (i) 行和第 (i) 列。
  • 对于 (i \in R_N)，将位置 ([i, i]) 的元素替换为 1，即 (\Gamma_{ii} = 1)。
  • 对于 (i \in R_H)，保持 (\Gamma) 的第 (i) 行和第 (i) 列不变。

以下是相关操作的流程图：

graph LR
    A[原始邻接矩阵 Γ] -->