47、双变量交错多项式与Weil和改进界的研究

双变量交错多项式与Weil和改进界的研究

1. 双变量交错多项式

双变量交错多项式在研究二次布尔函数的谱性质方面具有重要作用。主要介绍了两种双变量交错多项式：$q(x, y)$和$Q(x, y)$。

1.1 交错多项式$q(x, y)$

• 定义 ：对于一个有$n$个变量的图$G$，其双变量交错多项式$q(G; x, y)$定义为：
  [q(G; x, y) = \sum_{U\in{I,H}^n} (x - 1)^{rk(\Gamma_U)} (y - 1)^{co(\Gamma_U)}]
  其中，$co(\Gamma_V)$和$rk(\Gamma_V)$分别表示关于$V\in{I, H, N}^n$的修改后的图邻接矩阵$\Gamma_V$的余秩和秩，$\Gamma_V$是通过擦除索引在$R_I$中的行和列得到的。
• 性质 ：
  • $q(2, y) = q(y)$，且$\text{deg}(q(2, y)) = \log_2(PARIH)$。
  • $q(x, 1)$给出了函数关于${I, H}^n$划分的平坦谱的数量，并且$n - \text{deg}(q(x, 1))$是获得平坦谱所需的最少固定数量。
  • $q(1, y)$给出了根据大小划分的独立集的数量，$\text{deg}(q(1, y))$给出了独立集的最大大小。
  • $\text{deg}(q(2, y)) = \text{deg}(q(1, y))$。
  • 若$x^