8、并行多重网格方法：原理、算法及优势

并行多重网格方法：原理、算法及优势

1. 引言

并行多重网格方法在科学计算和工程领域中具有重要地位，它能够显著提高求解偏微分方程（PDE）的效率。通过利用并行计算的能力，该方法可以在分布式内存并行计算机上实现高效的计算。本文将详细介绍几种常见的并行多重网格方法，包括网格分割并行化、聚合、过滤算法、多网格并发松弛等，并分析它们的原理、实现步骤和优势。

2. 网格分割并行化

2.1 基本原理

为了并行化多重网格方法的求解过程，可以将最细级的原始网格分割成多个子网格，然后将这些子网格分配给不同的处理器。在多重网格方法中，一个完整的V循环（或其他多重网格循环）涉及在不同网格上使用基本松弛方案进行迭代，以及通过插值和延拓在不同网格之间传输数据。

2.2 不同松弛算法的并行实现

• 雅可比型松弛算法 ：如果使用雅可比型松弛算法，不同处理器上的松弛可以轻松并行进行。
• 高斯 - 赛德尔和SOR型算法 ：对于高斯 - 赛德尔和SOR型算法，可以使用着色方案来实现并行松弛。
  • 红黑排序 ：对于红黑排序，不同颜色的处理顺序并不重要。
  • 多色排序 ：对于多于两种颜色的多色排序，不同颜色的处理顺序会影响处理器间的通信次数。例如，使用9点模板和四色排序离散化相关PDE时，应分别对不同颜色的点分四步进行松弛。

2.3 四色排序示例