27、圆的反演：性质与应用

圆的反演：性质与应用

在数学领域中，圆的反演是一个非常重要且有趣的概念。它为我们解决许多与圆和直线相关的几何问题提供了独特的视角和方法。下面将深入探讨圆反演的定义、性质以及相关的定理和应用。

1. 反演的基本定义

给定一个圆 $\kappa(O,\rho)$，关于 $\kappa$ 的反演是圆内部和外部点之间的一种对应关系。对于每个不同于圆心 $O$ 的点 $X$，我们在射线 $OX$ 上对应一个点 $Y$，使得 $|OX||OY| = \rho^2$。这种对应关系建立了一种对称关系，类似于关于一条直线的对称（反射）。如果 $X$ 是 $Y$ 的反演点，那么 $Y$ 也是 $X$ 的反演点，我们称这样的两个点为关于圆 $\kappa$ 的反演点。圆 $\kappa$ 上的点的反演点就是其自身，这些点被称为反演的不动点。圆 $\kappa$ 被称为反演圆，其圆心 $O$ 被称为反演中心，$\rho^2$ 被称为反演幂。

2. 反演点的构造

• 外部点的反演点构造 ：如果点 $X$ 在圆 $\kappa$ 外部，从 $X$ 向圆 $\kappa$ 引两条切线，切点弦 $AB$ 与直线 $OX$ 的交点 $Y$ 就是 $X$ 关于圆 $\kappa$ 的反演点。这是因为在直角三角形 $OAX$ 中，根据相关命题有 $\rho^2 = |OX||OY|$。
• 内部点的反演点构造 ：对于圆 $\kappa$ 内部的点，我们执行相反的过程。在 $OY$ 上作垂线 $AB$，并在 $AB$ 与圆 $\kappa$ 的交点 $A$、$B$ 处作圆 $\kappa$