圆的反演

原文链接： http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/16966369

反演的定义：

已知一圆C，圆心为O，半径为r，如果P与P’在过圆心O的直线上，且，则称P与P'关于O互为反演。

反演的性质：

(1)除反演中心外，平面上的每一个点都只有唯一的反演点，且这种关系是对称的，位于反演圆上的点，保持在原处，位于

反演圆外部的点，变为圆内部的点，位于反演圆内部的点，变为圆外部的点。 举个最简单的例子，区间以1为反演

半径，那么反演后的区间就是，这就是一维反演，而圆的反演是二维反演。

(2)任意一条不过反演中心的直线，它的反形是经过反演中心的圆，反之亦然，特别地，过反演中心相交的圆，变为不过反

演中心的相交直线。

定理：不过反演中心的圆，它的反形是一个圆，反演中心是这两个互为反形的圆的一个位似中心，任意一对反演点是逆对应

点。用图形来解释，如下图：

那么，对于一个不过反演中心的圆，怎样求它的反形圆？

很容易知道我们只需要求出反形圆的圆心和半径就可以了。

对于上图我们设圆C1的半径为，C2的半径为，反演半径为

那么根据反演的定义有：

那么，消去得到：

这样我们就得到了反形圆的半径，那么还要求反形圆的圆心。

由于C1和O两点的坐标已知，而且我们知道O,C1，C2位于同一直线上，那么很明显对于C2的坐标，我们可以这样计算：

设O的坐标为，C1的坐标为，C2的坐标为

那么有：

至于由上面解处可以很容易得到，这样我们就完成了圆的反演变换。